41.Формула повної ймовірності.

Нехай подія А може наступити при умові появи однієї з несумісних подій які утворюють повну групу подій. Нехай відомі ймовірності цих подій і умовні ймовірності.

Необхідно знайти ймовірність події .

Теорема

Ймовірність події , яка може наступити лише при умові появи однієї з несумісних подій що утворюють повну групу подій дорівнює сумі добутків з цих подій на відповідному умовну ймовірностей події , тобто

-

Формула повної ймовірності

Доведення

Нехай подія може наступити тільки із однією із подій які утворюють повну групу подій, тобто може наступити

Із малюнка видно, що події є попарно несумісними, а тому попарно несумісними будуть і події .

Застосувавши до кожного доданку останньої рівності теорему множення ймовірностей одержимо:

42. Формула Байеса.

Постановка задачи та же, но решаем обратную задачу.

Проводится испытание, в результате которого произошло событие A. Какова вероятность того, что в этом испытании произошло событие Bi.

Условные вероятности называются апостериорными, а безусловные - априорными вероятностями.

P(ABi)=P(A)P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)

Откуда,

Таким образом, формула Байеса:

43. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появ­ления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относитель­но события

Формула Бернулли. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) ме­нее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам:

44. Наймовірніше число появи події в незалежних випробуваннях.

У формулі Бернуллі параметр m може змінюватися від 0 до n, тобто в n-випробуваннях подія А може зявитися 0 (жодного разу) до n (зявится в кожному випробуванні) з різними ймовірностями обчисленими за формулою Бернуллі: Pn(m)=C_n^m p^mq^n-m

Число m для якого ймовірність Pn(m) є найбільшой називаєтся наймовірнішим числом настання події. Наймовірніше число настання події знаходиться: np-q ≤ m₀ ≤ np+p

Зауваження:

1.) Якщо np-q – число дробове, то існує одне наймовірніше число n₀, воно =найближчому цілому до m₀ зправа;

2.) Якщо np-q – є ціле, то існує два наймовірніші числа m₀ та m₀+1, де m₀= np-q

45. Локальна теорема Муавра-Лапласа.

^{При великих значеннях m і n обчислювати ймовірність Pn(m) за формулою Бернуллі: Pn(m)=C}_n^{m pmqn-m важко через громі здкість обчислень. Теорема: якщо ймовірність Р події А в кожному випробуванні стала і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що в n-випробуваннях подія А зявится рівно n-разів наближено дорівнює значенню функції: , де}