1.2.Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

  Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n₁, n₂,…,n_k, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной  оценкой генеральной средней.

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за x_i принимают середины частичных интервалов.

 

1.3. Генеральная дисперсия.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию.

  Генеральной дисперсией D_г называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака имеют соответственно частоты N₁, N₂, …, N_k, где N₁ +N₂+…+N_k= N, то

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.

  Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:

1.4.Выборочная дисперсия.

Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику- выборочную дисперсию.

  Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки различны, то

 если же все значения имеют частоты n₁, n₂,…,n_k, то

Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

  Выборочным средним квадратическим отклоненим называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Вычисление дисперсии- выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу:

2. 7. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочное уравнение регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии.

При моделировании экономических процессов оперируют следующими типами данных: пространственными и временными.

Пространственные данные – это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные от разных однотипных объектов (фирм, регионов и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту времени (пространственный срез). Например, данные об объеме производства, количестве работников, доходе разных фирм в один и тот же момент времени.

Временные данные – это данные, характеризующие один и тот же объект в различные моменты времени (временной срез).Например, ежеквартальные данные об инфляции, средней заработной плате, данные о национальном доходе за последние годы.

 

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель. Эконометрические модели могут представлять собой модель временного ряда, систему одновременных уравнений, а также регрессионную модель с одним уравнением.

 

В эконометрическом моделировании можно выделить шесть основных этапов: постановочный, априорный, этап параметризации, информационный, этапы идентификации и верификации модели.

1-й этап (постановочный).На данном этапе формируется цель исследования, набор участвующих в моделиэкономических переменных.

В качестве цели эконометрического моделирования обычно рассматривают анализ исследуемого экономического объекта или процесса; прогноз его экономических показателей, имитацию развития объекта при различных значениях экзогенных переменных, выработку управленческих решений.

2-й этап (априорный). Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной информации (известной до начала моделирования).

3-й этап (параметризация). Осуществляется непосредственное моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей.

4-й этап (информационный). Осуществляется сбор необходимой статистической информации – наблюдаемых значений экономической информации (х₁, х₂, х₃,…. х_n, у₁, у₂, у₃ …у_n).

5-й этап (идентификация модели). Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров.

6-й этап (верификация модели). Проводится проверка истинности, адекватности модели, т.е. насколько соответствует построенная модель моделируемому реальному экономическому процессу или явлению.

 

В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой.

В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость получила название статистической (или стохастической, вероятностной). Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесенных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

Корреляционной связью называют частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения х закономерным образом изменяется среднее значение у, в то время как в каждом отдельном случае у может принимать множество различных значений (с различными вероятностями).

Корреляционная связь между переменными может возникнуть разными путями. Первый путь – причинная зависимость объясняемой переменной (ее вариации) от вариации объясняющей переменной. Например, объясняемая переменная или результативный признак у – это урожайность сельскохозяйственной культуры, а х – как объясняющая переменная (факторный признак) это балл оценки плодородия почвы.

Второй путь – сопряженность, возникающая при наличии общей причины. Известен классический пример, приведенный крупнейшим статистиком России начала 20 века Чупровым: если в качестве х взять число пожарныхкоманд в городе, а за у – сумму убытков за год в городе от пожаров, то между ними в совокупности городов России существовала прямая корреляция, в среднем чем больше пожарных в городе, тем больше и убытков от пожаров. Уж не занимались ли пожарные поджигательством из боязни потерять работу? Но дело в другом. Данную корреляцию нельзя интерпретировать как связь причины и следствия; оба признака-следствия общей причины – размера города. В крупных городах больше пожарных частей, но больше и пожаров, и убытков от них за год, чем в малых городах.

Третий путь возникновения корреляции – взаимосвязь рассматриваемых (переменных) признаков, каждый из которых и причина и следствие. Например, корреляция между уровнями производительности труда рабочих и уровнем оплаты за 1 час труда. С одно стороны, уровень зарплаты это следствие производительности труда, но с другой, установленные тарифные ставки и расценки играют стимулирующую роль: при правильной системе оплаты они выступают в качестве фактора, от которого зависит производительность труда. В такой систем допустимы обе постановки задачи: каждый рассмотренный признак может выступать в роли независимой переменной х и в качестве зависимой переменой у.

При моделировании экономических процессов оперируют следующими типами данных: пространственными и временными.

Пространственные данные – это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные от разных однотипных объектов (фирм, регионов и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту времени (пространственный срез). Например, данные об объеме производства, количестве работников, доходе разных фирм в один и тот же момент времени.

Временные данные – это данные, характеризующие один и тот же объект в различные моменты времени (временной срез).Например, ежеквартальные данные об инфляции, средней заработной плате, данные о национальном доходе за последние годы.

 

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель. Эконометрические модели могут представлять собой модель временного ряда, систему одновременных уравнений, а также регрессионную модель с одним уравнением.

 

В эконометрическом моделировании можно выделить шесть основных этапов: постановочный, априорный, этап параметризации, информационный, этапы идентификации и верификации модели.

1-й этап (постановочный).На данном этапе формируется цель исследования, набор участвующих в моделиэкономических переменных.

В качестве цели эконометрического моделирования обычно рассматривают анализ исследуемого экономического объекта или процесса; прогноз его экономических показателей, имитацию развития объекта при различных значениях экзогенных переменных, выработку управленческих решений.

2-й этап (априорный). Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной информации (известной до начала моделирования).

3-й этап (параметризация). Осуществляется непосредственное моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей.

4-й этап (информационный). Осуществляется сбор необходимой статистической информации – наблюдаемых значений экономической информации (х₁, х₂, х₃,…. х_n, у₁, у₂, у₃ …у_n).

5-й этап (идентификация модели). Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров.

6-й этап (верификация модели). Проводится проверка истинности, адекватности модели, т.е. насколько соответствует построенная модель моделируемому реальному экономическому процессу или явлению.

 

В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой.

В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость получила название статистической (или стохастической, вероятностной). Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесенных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

Корреляционной связью называют частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения х закономерным образом изменяется среднее значение у, в то время как в каждом отдельном случае у может принимать множество различных значений (с различными вероятностями).

Корреляционная связь между переменными может возникнуть разными путями. Первый путь – причинная зависимость объясняемой переменной (ее вариации) от вариации объясняющей переменной. Например, объясняемая переменная или результативный признак у – это урожайность сельскохозяйственной культуры, а х – как объясняющая переменная (факторный признак) это балл оценки плодородия почвы.

Второй путь – сопряженность, возникающая при наличии общей причины. Известен классический пример, приведенный крупнейшим статистиком России начала 20 века Чупровым: если в качестве х взять число пожарныхкоманд в городе, а за у – сумму убытков за год в городе от пожаров, то между ними в совокупности городов России существовала прямая корреляция, в среднем чем больше пожарных в городе, тем больше и убытков от пожаров. Уж не занимались ли пожарные поджигательством из боязни потерять работу? Но дело в другом. Данную корреляцию нельзя интерпретировать как связь причины и следствия; оба признака-следствия общей причины – размера города. В крупных городах больше пожарных частей, но больше и пожаров, и убытков от них за год, чем в малых городах.

Третий путь возникновения корреляции – взаимосвязь рассматриваемых (переменных) признаков, каждый из которых и причина и следствие. Например, корреляция между уровнями производительности труда рабочих и уровнем оплаты за 1 час труда. С одно стороны, уровень зарплаты это следствие производительности труда, но с другой, установленные тарифные ставки и расценки играют стимулирующую роль: при правильной системе оплаты они выступают в качестве фактора, от которого зависит производительность труда. В такой систем допустимы обе постановки задачи: каждый рассмотренный признак может выступать в роли независимой переменной х и в качестве зависимой переменой у.

 

Для определения значений теоретических коэффициентов, входящих в уравнения регрессии, вообще говоря, необходимо знать и использовать все значения переменных генеральной совокупности, что практически невозможно. В связи с этим по выборке ограниченного объема строится так называемое выборочное (эмпирическое) уравнение регрессии. В силу несовпадения статистической базы для генеральной совокупности и выборки оценки коэффициентов, входящих в уравнение регрессии, практически всегда отличаются от истинных (теоретических) значений, что приводит к несовпадению эмпирической и теоретической линий регрессии. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к отличающимся друг от друга оценкам. Задача состоит в том, чтобы по конкретной выборке  найти оценки неизвестных параметров так, чтобы построенная линия регрессии являлась бы наилучшей, среди всех других линий.