Формула полной вероятности

Следствием основных теорем является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: Н₁, Н₂, ….Н_n, Образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

В этом случае, вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе

Р(А)=∑Р(H_i)⋅P(A/H_i) (16)

Теорема гипотез (формула Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂, …., Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н₁), Р(Н₂)…. Р(Н_n).

Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление некоторого события А. Как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением этого события? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н_i/А) для каждой гипотезы.

Р(Н_i/А) = [Р(Н_i)⋅Р(Н_i/A] / [∑Р(H_i)⋅P(A/H_i)], i = 1, 2, …, n (17)

5. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Закон распределения дискретной случайной величины.

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания будет принимать одно и только одно значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин

.Пример 24.1Подбрасываем игральный кубик с гранями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Количество выпавших очков есть случайная величина. Возможные значения этой случайной величины — число очков 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем реализация того или иного значения случайной величины зависит от множества случайных факторов, и заранее не может быть предсказана.Пример 24.2Дальность полета снаряда из пушки — случайная величина. Действительно, заранее указать точно ее значение невозможно, поскольку на дальность влияет множество случайных факторов: сила и направление ветра, некоторые отличия в массе пороха в разных снарядах и тому подобное.В этом и последующих квантах будем обозначать случайные величины прописными буквами, например, X,Y,Z, а значения, которые может принимать случайная величина соответствующими строчными буквами: x,y,z.Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения. Каждое значение с определенной вероятностью

.Непрерывной называют случайную величину, которая принимает любые значения из некоторого промежутка (возможно бесконечного).Число возможных значений дискретной случайной величины счетно (конечно или бесконечно), а число возможных значений непрерывной случайной величины несчетно. Пример 24.1 (число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика) есть пример дискретной случайной величины, а пример 24.2 (дальность полета снаряда) есть пример непрерывной случайной величины.Пример 24.3Станок производит за смену 100 деталей, причем с некоторой вероятностью деталь может оказаться бракованной. Примерами случайной величины для задачи в такой постановке будут:

• количество бракованных деталей (возможные значения целые числа от 0 до 100);

• количество качественных деталей (возможные значения целые числа от 0 до 100);

• доля брака, то есть отношение количества бракованных деталей к количеству произведенных деталей (возможные значения числа 0, 0,01, 0,02, ..., 1).

• Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

• Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

• Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

• Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃ ... x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

6. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_x (x) непрерывна, то случайная величина x называетсянепрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_x (x), которая связана с функцией распределения F_x (x) формулами

 и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Квантили

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения F_x (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение F_x (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью x_p (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины , имеющей функцию распределения F_x (x), называют решение x_p уравнения F_x (x) = p, p  (0, 1). Для некоторых pуравнение F_x (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана - квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль - квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75;

децили - квантили уровней 0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

Вероятность попадания в интервал

Вероятность того, что значение случайной величины F_x (x) попадает в интервал (a, b), равнаяP(a < x < b) = F_x (b) -F_x (a), вычисляется по формулам:

 - для непрерывной случайной величины и

- для дискретной случайной величины.

Если a= - , то  ,

если b= , то .

 Пусть имеется непрерывная случайная величина  с функцией распределения  , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от  до :

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать  к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

.      (5.4.1)

Введем обозначение:

.           (5.4.2)

Функция  - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция  буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»).

7.Законы равномерного и нормального распределений

Равномерный закон распределения.

На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).

Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероят­ности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.

 Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то

откуда с=1/(b-a).

Теперь функцию f(x) можно представить в виде

  

Нормальный закон  распределения.