Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (1)

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. В общем виде ее удобно записать:

Р(∑A_i) = ∑Р(A_i) (2)

Отметим следствия вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1: Если события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

∑Р(A_i) = 1 (3)

Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, введем понятие «противоположные события».

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу. Событие противоположное событию А принято обозначать A.

Пример: Событие А – безотказная работа всех элементов технической системы; A – отказ хотя бы одного элемента.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P(A) =1 (4)

Следствие 2 есть частный случай следствия 1.

Вероятность суммы двух совместных событий выражается формулой:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – P(AB) (5)

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле:

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – P(AB) – P(AС) – P(ВС) + Р(АВС) (6)

Общая формула для вероятности суммы любого числа совместных событий:

Р(∑A_i) = ∑Р(A_i) – ∑Р(A_iA_j) + ∑Р(A_iA_jA_k) – (-1)^n-1P(A₁A₂…A_n) (7)

где суммы распространяются на различные значения индексов i; i, j; i, j, k и т.д.

Из формул (5) и (6) можно записать аналогичную формулу для произведения событий

P(AB) = Р(А) + Р(В) – Р(А+В) (8)

Р(АВС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – P(A+B) – P(A+С) – P(В+С) + Р(А+В+С) (9)

Теорема умножения вероятностей

Введем понятие независимые и зависимые события.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В)

Пример: В урне два белых и один черный. Два лица вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются события: А- появление белого шара у 1-го лица; В – появление белого шара у 2-го лица. Решение: Р(А) до того как произошло событие В равно 2/3. Если событие В произошло, то Р(А)=1/2. Таким образом, событие А зависит от события В.

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А/В) = P(A) (10)

а, условие зависимости: Р(А/В) ≠ P(A) (11)

Теорема умножения: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности

Р(АВ) = P(A)⋅Р(В/А) (12)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А₁А₂…А_n ) = P(A₁)⋅Р(А₂/А₁)⋅Р(А₃/А₁А₂)⋅…⋅Р(А_n/А1А2…А n-1) (13)

Следствие1: Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А

Следствие2: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

P(AВ) = P(А)⋅Р(В) (14) Р(А₁А₂…А_n ) = P(A₁)⋅Р(А₂)⋅….⋅Р(А_n) (15)