32. Связь между координатным и векторным, координатным и естественным способами задания движения точки
Связь между координатным и естественным способами задания движения точки
Закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)
После
интегрирования получим закон движения
точки по заданной траектории:
Связь координатного способа задания движения и векторного.
Положим, что движение точки задано в виде уравнений. Имея в виду, что
и
;
;
,
можно записать
33. Скорость точки. Вектор скорости
Скорость точки – мера механического состояния точки. Она характеризует быстроту изменения положения точки относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени; в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
34. Ускорение точки. Вектор ускорения
Ускорение точки — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость точки за единицу времени.
В общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
35. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением
Из определения скорости
Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени:
Модуль и направление скорости определяются выражениями
Из определения ускорения
Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени
Модуль и направление ускорения определяются выражениями
36. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения. Нормальное и касательное ускорения точки, их физическое содержание
Из определения скорости точки
где
-
единичный вектор касательной, тогда
Алгебраическая скорость – это проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.
Из определения ускорения
поскольку τ - переменный по направлению вектор, то:
Производная
определяется
только свойствами траектории в окрестности
данной точки, при этом
n - единичный вектор главной нормали,
ρ - радиус кривизны траектории в данной точке.
Таким образом,
т.е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие - касательное и нормальное ускорения:
Здесь:
- алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение скорости по величине;
– нормальное ускорение (проекция вектора ускорения на главную нормаль) характеризует изменение скорости по направлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль равна нулю (ab=0).
Движение точки ускоренное, если знаки проекций векторов скорости и ускорения на касательную совпадают.