2.4. Примеры составления дифференциальных уравнений звеньев сау

Пример 1. Составим дифференциальное уравне­ние двигателя постоянного тока с независимым воз­буждением (рис. 2.10, а) и проведем его линеариза­цию. По второму закону Ньютона для вращательного движения уравнение моментов на валу двигателя имеет вид

, (2.4.1)

где ω - угловая скорость, J – момент инерции движу­щихся частей, приведенный к валу, М_д - вращающий момент, М_с - момент сопротивления на валу двига­теля. Вращающий момент М_д является функцией уг­ловой скорости ω и напряжения и, приложенного к якорю: M_д=M_д(ω,и), а момент сопротивления М_с является функцией времени t и величины ω: M_c=M_c(ω,t).

Типичные механические характеристики электродвигателей постоянного тока с независимым возбуждением показаны на рис. 2.10,б.

Рисунок 2.10

Так как M_д=M_д(ω,и) и M_c=M_c(ω,t) являются нелинейными функциями, то уравнение (2.4.1) будет нелинейным дифференциальным уравнением. Для ли­неаризации уравнения (2.4.1) перейдем к уравнению в отклонениях от установившегося режима. В устано­вившемся режиме М_с0=М_д0. Пусть при этом ω=ω₀, и = и₀. Разложим нелинейные функции М_д(ω, и) и М_с(ω, t) в ряд Тейлора в окрестности точки (ω₀,и₀) и отбросим члены, содержащие производные выше первого порядка:

, (2.4.2)

. (2.4.3)

Из уравнений (2.4.1) - (2.4.3) имеем

. (2.4.4)

В этом уравнении все члены имеют размерность мо­мента. Часто при исследовании САУ бывает необхо­димо получить уравнение в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффициен­тами, имеющими размерность времени в степени, рав­ной порядку соответствующей производной.

Для перехода к относительным безразмерным еди­ницам разделим обе части уравнения (2.4.4) на но­минальное значение момента М_н (см. рис. 2.10):

.

Выберем некоторые величины переменных в качестве базисных. Для напряжения и удобно взять макси­мальное значение u_max, а для угловой скорости - ее номинальное значение ω_н. Умножим и разделим каж­дый член уравнения на соответствующую базисную величину:

.

Введем обозначения:

.

Тогда получим

(2.4.5)

В уравнении (2.4.5) функция f(t) характеризует воз­мущающее воздействие, x(t) - управляющее воздей­ствие, y(t) - выходная величина (координата). Коэффициент Т имеет размерность времени (с) и называется постоянной времени двигателя. Отношение k_y/k_c характеризует зависимость между выходной ко­ординатой у и входным воздействием х в установив­шемся режиме и называется коэффициентом уси­ления.

Пример 2. Уравнение электрического четырех­полюсника. Рассмотрим, как составляется дифферен­циальное уравнение пассив­ного электрического четы­рехполюсника, схема кото­рого приведена на рис. 2.11. Входной координатной здесь будет напряжение на зажи­мах u(t), а выходной - напряжение на конденсаторе и_с.

Рисунок 2.11

Ввиду того, что цепь является линейной, уравне­ние можно составлять как в отклонениях, так и в безразмерных относительных единицах.

Так как падение напряжения на сопротивлении равно u_R=R_i=Rdq/dt, а падение напряжения в ка­тушке индуктивности будет u_l=Ldi/dt=Ld²q/dt, можем записать

.

Учитывая, что q= Cu_c, получаем

Обозначим и_с=у, и(t)=x, CL= , RC=Т; тогда уравнение электрического четырехполюсника будет иметь вид

. (2.4.6)

Пример 3. Управление углом тангажа самолета. Движение самолета состоит из двух составляющих: движения центра тяжести (центра масс) и вращения вокруг него. Каждое из этих движений имеет три сте­пени свободы. Управление самолетом осуществляется изменением силы тяги и положением рулей высоты.

Движение самолета, при котором вектор скорости центра масс находится в плоскости симметрии, назы­вается продольным и характеризуется тремя степенями свободы: двумя составляющими скорости движе­ния центра масс, лежащими в вертикальной плоско­сти, и вектором угловой скорости вращения относи­тельно центра масс, нормальным к плоскости симме­трии. Угол φ между горизонтом и продольной осью самолета называется углом тангажа (рис. 2.12).

Рисунок 2.12

Рассмотрим модель автопилота, управляющего уг­лом тангажа самолета. Управляемыми величинами яв­ляются скорость движения v и угол тангажа φ. Упра­вление самолетом осуществляется с помощью изме­нения силы тяги F, совпадающей по направлению с продольной осью самолета, и

положения руля высоты (угол δ), изменяющего вращающий момент, поворачи­вающий самолет в вертикальной плоскости симме­трии. На самолет также действует сила веса G, подъ­емная сила L, перпендикулярная вектору скорости v и сила лобового сопротивления Р, направленная на­встречу вектору v.

Для построения математической модели процесса движения самолета рассмотрим уравнения сил и мо­ментов при продольном движении самолета. Обозна­чим: α - угол между продольной осью самолета и вектором скорости, называемый углом атаки; θ - угол между горизонтальной плоскостью и вектором ско­рости, называемый углом наклона траектории.

Из рис. 2.12

φ=α+θ (2.4.7)

Уравнения сил и моментов можно записать так:

- для оси, совпадающей с вектором скорости v:

(2.4.8)

- для оси, нормальной к вектору скорости:

(2.4.9)

- для моментов сил, действующих в продольной плоскости:

(2.4.10)

где J - момент инерции самолета относительно оси, перпендикулярной продольной плоскости и проходя­щей через центр масс, М - суммарный момент аэро­динамических сил относительно той же оси, т - мас­са самолета.

В системе уравнений (2.4.7) - (2.4.10) величины Р, L и М представляют собой сложные нелинейные функ­ции величин v, а и других величин, характеризующих процесс движения самолета. Поэтому для упрощения анализа процесса управления эти нелинейные функ­ции необходимо разложить в ряд Тейлора и отбро­сить члены ряда высокого порядка.

Рассмотрим математическую модель автопилота для случая, когда полет проходит с постоянной ско­ростью v = const и постоянной силой тяги F=F_o= const. Пусть начальный режим характеризуется величинами Р₀, L₀, М₀ =0, δ₀, φ₀, θ₀ и (dφ/dt)₀=0. Изменение угла руля высоты δ на величину Δδ приводит к изменениям Р, L, М, а также φ и а.

При линеаризации вышеуказанных функций мож­но записать:

а= а₀+Δа, φ=φ ₀+Δφ, δ=δ₀+Δδ, (2.4.11)

(2.4.12)

(2.4.13)

G cos θ=G cos θ₀ - G sin θ₀Δθ ≈ G cos θ₀, (2.4.14)

Р sin α = Р₀ sin α₀ + P₀ cos α₀Δα₀. (2.4.15)

В этих уравнениях использованы следующие обозна­чения:

(2.4.16)

где .

Перейдем от уравнений (2.4.8) - (2.4.10) к урав­нениям для приращений

Р₀ sin α + L₀ – G₀ cos θ₀ = 0. (2.4.17)

Учитывая, что для установившегося режима (dθ/dt)₀ = 0, имеем

, (2.4.18) (2.4.19)

В выражении (2.4.18) величина

Пример 4. В качестве примера модели механи­ческой системы рассмотрим регулятор Уатта. Цент­робежный регулятор (рис.2.13, а) состоит из вер­тикального стержня S, который может вращаться во­круг своей вертикальной оси В. К верхнему концу стержня на шарнирах прикреплены два одинаковых стержня L₁ и L₂ с одинаковыми грузами на концах. Стержни L₁ и L₂ скреплены шарнирами и могут от­клоняться на одинаковый угол φ, находясь в одной вертикальной плоскости. Отклоняясь от своего вертикального положения, они при помощи шарниров приводят в движение муфту М, надетую на стержень S, при этом расстояние муфты до верхнего конца стержня S пропорционально cos φ. Если принять длину вертикальных стержней L₁ и L₂ за единицу и обозначить т массу грузов, то при угловой скоро­сти вращения стержня S, равной θ, на каждый груз действует центробежная сила mθ²sin φ и сила тя­жести mg.

Рисунок 2.13

Силы, действующие на грузы т, можно разложить на две составляющие, одну - вдоль стержней L, дру­гую - в перпендикулярном направлении (то есть в на­правлении возрастания угла φ, рис. 2.13, б). Первая

составляющая уравновешивается реакцией стержня. Вторая составляющая равна mθ² sinφ cosφ. Состав­ляющая силы тяжести в том же направлении равна - mg sinφ. Равнодействующая этих сил

mθ² sinφ cosφ - mg sin φ. (2.4.20)

В состоянии покоя (статическое описание регулятора) равнодействующая этих сил равна нулю:

mθ² sinφ cosφ - mg sin φ = 0. (2.4.21)

Такое описание регулятора Уатта рассматривает его в качестве измерителя скорости вращения. При рассмотрении работы регулятора в ее динамике мы должны описать этот процесс во времени, в виде дифференциального уравнения. В динамике на массу, кроме силы (2.4.19), действует сила трения, пропор­циональная скорости движения массы т и имею­щая знак противоположный скорости, то есть равная - , где b — постоянная величина. Для описания динамики движения массы т имеем уравнение

(2.4.22)

Паровая машина представляет собой маховое ко­лесо с моментом инерции J, приводимое в движение силой пара. Дифференциальное уравнение паровой машины имеет вид

(2.4.23)

где ω - угловая скорость вращения маховика, M₁ - момент силы действия пара, М - момент действия нагрузки. Центробежный регулятор служит для под­держания равномерности хода машины, он измеряет скорость вращения махового колеса, и если она боль­ше требуемой, то он уменьшает подачу пара, а если меньше требуемой, то увеличивает подачу пара. Для этого маховое колесо связано со стержнем зубчатой передачей (рис. 2.13, а), при этом воздействие ма­шины на регулятор

, (2.4.24)

где п - передаточное число.

Муфта регулятора воздействует на заслонку сле­дующим образом:

, (2.4.25)

где φ* - некоторое заранее заданное значение φ, - сила воздействия пара при φ = φ*, a k - коэф­фициент пропорциональности. Из (2.4.25) следует, что регулятор воздействует на паровую машину та­ким образом, что при увеличении φ сила воздействия пара М₁ уменьшается.

В целом система машина – регулятор описы­вается двумя дифференциальными уравнениями:

(2.4.26)

где Так как первое уравне­ние имеет второй порядок, то для приведения си­стемы к нормальному виду введем новую перемен­ную . Тогда систему (2.4.26) в нормальной форме запишем так:

(2.4.27)