1.5. Общая задача теории автоматического управления

Общей задачей ТАУ является задача о стохасти­ческой управляемой системе вида

= F(X, U, ξ,t) (1.5.1)

Как уже говорилось ранее, детерминированную цель управления Х_Т= Х(Т) в этом случае следует заме­нить некой сформулированной в вероятностных тер­минах целью, так как фазовый вектор X(t) является случайным. Наиболее распространенными в данных обстоятельствах являются следующие формулировки цели:

J₁=D(X(Т))=М(Х(Т)-М(X(Т)))²→min, (1.5.2) то есть минимизация дисперсии

J₂ = Р {| X (Т) - М (X (Т))| <ε}> max, (1.5.3)

то есть максимизация вероятности того, что конечное значение фазового вектора находится внутри некото­рого достаточно малого интервала [М(X (Т)) ± ε] с центром в М(Х(Т)).

Условие N(X,U,t)≥0, задающее область опреде­ления функции (1.5.1), следует рассматривать как детерминированное ограничение, то есть выполняющееся с вероятностью, равной 1. Несмотря на то, что мы переходим от частной задачи к более общей, физи­ческий смысл ранее введенных понятий не изменяет­ся. Но величина платы за управление в виде (1.2.1) теперь не будет достаточно оправданной и должна быть заменена усредненной величиной, то есть

= M(G(X, t)). (1.5.4)

В такой реальной постановке задача становится практически неразрешимой, и на сегодняшний день нет общей математической теории решения таких за­дач. Поэтому в зависимости от конкретной задачи делают некоторые предположения, позволяющие ее упростить. Одним из таких методов упрощения яв­ляется схема двухэтапной оптимизации, дающая хорошие результаты в предположении малости возму­щений.

Собственно, этот метод проходит в неявном виде через все предыдущие разделы. Поэтому имеет смысл оглянуться назад и посмотреть на изложенное с этой точки зрения.

На первом этапе, при изложении задачи управ­ления, считалось, что ξ=0, и формулировалась чисто детерминированная задача, в которой J₁ (см. (1.5.2)) или J₂ (см. (1.5.3)) достигали заведомо сво­его экстремального (минимального или максималь­ного) значения, а плата за управление выражалась чисто детерминированной функцией, то есть рассматри­валась обычная задача оптимального управления:

Х(0) = Х₀, (1.5.5а)

Х(Т)= Х_Т, (1.5.5б)

=F(X,U,0, t), (1.5.5в)

ΔG(X,t)→ min (1.5.5г)

в которой требовалось найти программу управления X⁰(t), U⁰(t).

На втором этапе, считая, что возмущения малы, но не тождественны нулю, искалось корректирующее управление - закон обратной связи, минимизирую­щий J₁. Разберем этот этап более подробно. Условие (1.5.2) для отклонений Y(t) от программной траек­тории:

J₁ = М(Y(T), Y(T)) → min (1.5.6)

или, что то же,

J₁ = D [Y(Т)] → min

В уравнении (1.4.3) будем счи­тать, что случайный процесс ξ(t) центрирован, то есть

ξ(t) = М [ξ(t)] = 0 t. (1.5.7)

(Далее для сокращения записи используем соотноше­ние (1.5.7), как определение ξ(t)).

Ограничиваясь одномерным случаем, имеем для искомых поправок программной траектории и коррек­ции следующее дифференциальное уравнение:

=a(t)y+b(t)v+c(t)ξ

с начальным условием y(0)=0. Из теории диффе­ренциальных уравнений известно, что общее решение данного уравнения:

, (1.5.8)

где .

Для отыскания корректирующего управления ис­пользуем формулировку цели управления, данную формулой (1.5.6), которая в нашем случае будет иметь вид

min. (1.5.9)

Предполагаем, что корректирующее управление v есть детерминированная функция времени, по анало­гии с задачей первого этапа.

Подставив (1.5.8) в (1.5.9), имеем

(1.5.10)

и окончательно получаем из-за центрированности про­цесса

. (1.5.11)

Каждое слагаемое в правой части выражения (1.5.11) - положительная величина (сумма квадра­тов) и, следовательно, в предположении детерминированности корректирующего управления для мини­мизации условия (1.5.9) необходимо положить v(t) ≡ 0.

Результат несколько парадоксальный - для умень­шения ошибки при достижении цели управления надо вовсе не управлять системой. Причину пара­докса не надо долго искать. Просто следует коррек­тирующее управление выбирать так, чтобы оно ка­ким-либо способом зависело от возмущения ξ(t). Непосредственно осуществить данное требование тех­нически весьма затруднительно, поскольку для вы­бора v как функции ξ надо иметь датчики, позволяю­щие измерять эту величину. Выходом из данной си­туации является косвенный учет зависимости v(ξ), а именно - измерение значений фазовых переменных или их отклонений от программного движения и отыскание корректирующего управления в форме

v = v(t, х) или v = v(t, у).

Данная глава приоткрывает в некоторой степени дверь во множество вопросов, изучением которых занимается ТАУ. Собственно, все изложенное да­лее на страницах этого учебника является развитием и более подробным изучением задач, поставленных в этой главе, в приложении к более конкретным объ­ектам управления.