1.4. Закон обратной связи

Программная траектория - это траектория, вдоль которой самолет, ведомый автопилотом, никогда не летает. Различного рода возмущения отклонят его от расчетной траектории, поэтому необходима дополни­тельная система управления, задача которой - устра­нять воздействия случайных возмущений. Рассмот­рим математическую постановку этой задачи в естественном предположении малости возмущений. Так как мы знаем X₀(t), U₀(t) - решение задачи

= F(X₀, U₀,0, t), (1.4.1)

в отсутствие возмущений, то есть при ξ=0, то исходя из предположения о малости возмущений, резонно по­ложить в случае ξ≠0

X = X₀ + Y, U=U₀ + v. (1.4.2)

Считая Y и v величинами того же порядка малости, что и возмущения, подставим (1.4.2) в исходную систему (1.3.1) и линеаризуем ее, то есть отбросим чле­ны более высокого порядка малости, чем Y, v, ξ. В результате несложных выкладок получим

= AY + Bv+Сξ, (1.4.3)

где матрицы, элементами которых являются производные, вычис­ленные вдоль программной траектории, то есть при

Y = v= ξ = 0. (1.4.4)

Понятно, что Y(0)=0, а целью корректирующего управления должна быть минимизация модуля или квадрата Y(T), что физически соответствует максимизации точности достижения цели Х_К=Х(Т). Как и при нахождении программной траектории, необходимо учитывать ограничение по ресурсу управления, причем

U + v G_U. (1.4.5)

Таким образом, в общем случае задача определе­ния закона обратной связи качественно отлична от задачи программирования. Задаче конструирования обратной связи посвящено огромное число исследова­ний, но до сих пор не созданы общие методы ее решения.

Еще более общую формулировку можно придать данной задаче, задавшись вопросом о нахождении полного множества законов обратной связи, удовле­творяющих системе (1.4.3) и какому-либо критерию точности достижения цели. В такой постановке дан­ная задача носит название задачи синтеза.

Допустим, что нам удалось решить задачу выбора закона обратной связи, определив v(X,t), то есть ка­ким-то образом реализовать схему управления, изо­браженную на рис. 1.1. На схеме видно, что сигнал, поступивший на вход объекта управления, преобра­зуется в нем и результат подается на выход. Через канал обратной связи выход соединен с блоком срав­нения, где результат оценивается (например, опре­деляется отклонение С от программной траектории). Допустим, что он меньше, чем требуется; тогда блок регулирования подает сигнал на увеличение v(X, t). Наоборот, сигнал от блока регулирования - уменьшение, если результат больше требуемого. В этом процессе и заключается смысл корректирующего управления v(X, t) или закона обратной связи.

Рисунок 1.1

Различают положительную и отрицательную об­ратную связь. Обратная связь считается положитель­ной, если возрастание управляемой величины вызы­вает ее дальнейшее возрастание, и отрицательной — когда это вызывает ее уменьшение. Соответственно, уменьшение управляемой величины при положитель­ной обратной связи приводит к ее дальнейшему уменьшению, а при отрицательной - увеличивает ее. В ТАУ в большинстве случаев рассматриваются кон­туры с отрицательной обратной связью.

Реальные системы управления обычно имеют не один, а несколько контуров обратной связи по раз­личным компонентам вектора фазового состояния системы.

Итак, схема управления реализована; как пра­вило, эта задача носит в большей или меньшей мере характер изобретательства, однако естественно же­лание иметь некие объективные характеристики пред­лагаемой системы управления, а также уметь выби­рать параметры предлагаемой конструкции. Эти воп­росы в ТАУ носят название задачи анализа.

Вернемся к уравнению (1.4.3) и предположим, что нам удалось найти некое допустимое корректирующее управление в виде

v = P ·Y, (1.4.6)

где Р=(р_ij) (i= 1, 2, ..., п, j= 1, 2, ..., r) - мат­рица конструктивных параметров выбранной нами схемы управления. Основной задачей анализа являет­ся определение области (множества) G_p значений параметров p_ij, при которых решение Y(t) асимпто­тически устойчиво.

Поясним сказанное несколько подробнее. Если внешние возмущения отсутствуют, то, очевидно, что Y=0. Пусть в некоторый момент времени t=t₀ на объект управления подействовало некоторое случай­ное возмущение, в результате которого состояние объекта управления изменится:

Y(t₀) = Y₀ ≠ 0. (1.4.7)

Что будет с объектом управления, после того как помеха исчезнет? Ясно, что если с течением времени отклонение исчезнет, то цель управления будет до­стигаться. Это математически можно отразить сле­дующим образом:

Y(t)=0 (1.4.8)

в противном случае цель недостижима. Обычно усло­вие (1.4.8) записывается в виде

Y(t)=0 (1.4.9)

Возможность такой замены конечного отрезка вре­мени на бесконечный интервал физически означает предположение о том, что время релаксации (зату­хания) возмущения во много раз меньше времени управления. Эта замена во многих случаях позволяет провести исследование процесса более простым спо­собом, чем при исследовании его на конечном интер­вале времени.

Таким образом, зная множество G_p, мы знаем область значений параметров, при которых объект асимптотически устойчив, но поведение объекта, его характеристики будут существенно различны в зави­симости от выбора точки множества G_p. Различного рода другие требования, такие как стоимость и про­стота, технологичность и надежность, будут сужать область допустимых параметров, то есть G_p перейдет в . Очевидно, что если множество окажется пусто, то выбранная конструкция должна быть заменена другой. В противном случае в нашем распоря­жении остается еще возможность выбора точки на множестве , исходя из какого-нибудь критерия. Раз­личные критерии такого рода будут рассмотрены при исследовании качества линейных САУ.