7.6. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой

Стационарной линейной динамической системой на­зывают САУ, которая описывается линейным диффе­ренциальным уравнением с постоянными коэффи­циентами. Стационарные случайные воздействия x(t) вызывают стационарные случайные изменения выход­ной величины y(t) системы автоматического управле­ния.

В общем случае случайное воздействие x(t) со­стоит из среднего значения m_x(t) и центрированной случайной составляющей Аналогично может быть представлена и выходная величина: Для линейной системы справедлив принцип суперпозиции (см. главы 2 и 3); поэтому каждая из двух составляющих y(t) может быть определена отдельно: m_у - как результат преобразования т_х, а - как результат преобразования Математические ожидания m_x(t) и m_y(t) являются неслучайными величинами и связаны через пе­редаточную функцию системы:

m_y(t)=W(p)m_x(t). (7.6.1)

Для стационарной случайной функции x(t) значения m_x(t) и m_y(t) являются постоянными величинами и связаны друг с другом уравнениями статики (см. главу 3)

m_y=W(0)m_x. (7.6.2)

Определим центрированную часть стационарной случайной функции пo Входное воздействие может быть задано либо корреляционной функ­цией либо спектральной плотностью . Так как в дальнейшем мы будем рассматривать толь­ко центрированные составляющие случайных функ­ций, то значок ° опустим. Сигнал на выходе линейной системы y(t) выражается через сигнал на входе x(t) и импульсную переходную функцию w(t) при помощи интеграла Дюамеля:

(7.6.3)

Если входной сигнал задан корреляционной функцией К_х(τ), то корреляционную функцию выходной вели­чины К_у(τ) можно определить по формуле, которую мы приведем без вывода:

(7.6.4)

Пользоваться формулой (7.6.4) не совсем удобно из-за необходимости двойного интегрирования. Поэто­му для установившегося режима, вместо соотношений между корреляционными функциями (во временной области), целесообразно перейти к соотношениям ме­жду спектральными плотностями (в частотной обла­сти). Заменим, как мы это делали раньше, функции x(t) и y(t), которые в общем случае не имеют фурье-преобразования, на функции x_T(t), y_T(t), для которых существует фурье-преобразование:

Х_Т (iω)=F [х_T (t)] и Y_T(iω)=F[y_T(t)].

При этом частотная функция системы W(iω) будет равна отношению фурье-преобразований входного и выходного сигналов. Распространив это положение и на предельные значения преобразований X_T(iω), Y_T(iω), получим причем сопряженная величина частотной функции

Используем (7.5.2) для определения спектральной плотности выходного сигнала:

(7.6.5)

Преобразуем (7.6.5) следующим образом:

(7.6.6)

Таким образом,

(7.6.7)

то есть спектральная плотность выходного сигнала ли­нейной системы равна произведению спектральной плотности входного сигнала на квадрат модуля ам­плитудно-частотной характеристики линейной си­стемы.

Дисперсия выходного сигнала Y будет равна

(7.6.8)

Аналогично из определения взаимной спектральной плотности (7.5.2) имеем После умножения и деления на Х_Т(iω):

и учитывая, что

получим

(7.6.9)

то есть взаимная спектральная плотность входного и вы­ходного сигналов линейной системы равна произведе­нию спектральной плотности входного сигнала на ам­плитудно-частотную характеристику системы.

Пример 7.7.1. Определить спектральную плотность случай­ного сигнала при прохождении его через: а) идеальное диффе­ренцирующее звено; б) идеальное интегрирующее звено.

Передаточная функция дифференцирующего звена W(p)=р; отсюда спектральная плотность сигнала на выходе S_y(ω)=S_х(ω)ω². Передаточная функция интегрирующего звена Wy_X(p)=1/p. Тогда спектральная плотность сигнала на выходе интегрирующего звена

Мы видим, что использование понятия спектраль­ной плотности очень удобно для исследования стацио­нарных случайных процессов.