7.5. Спектральная плотность стационарной случайной функции

В рассуждениях предыдущего параграфа предпо­лагалось, что случайная функция представима конеч­ным набором гармонических колебаний различных ча­стот со случайными амплитудами. В общем случае произвольной стационарной случайной функции вво­дится понятие спектральной плотности. Спектральной плоскостью стационарной случайной функции X(t) называется предел отношения дисперсии, приходящийся на данный интервал частот, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю. Для вычисления спектральной плотности применяются ма­тематические методы, основанные на интегральном преобразовании Фурье. Для спектральной плотности реализации случайного про­цесса имеем

(7.5.1)

следующее соотношение:

(7.5.2)

где Х_Т(iω) - преобразование Фурье x(t). Спектраль­ная плотность является вещественной функцией, зна­чение которой для частоты ω равно квадрату ампли­туды соответствующей гармоники спектрального раз­ложения реализации случайной функции.

Спектральная плотность S_x(ω) и корреляционная функция K_x(τ) связаны преобразованиями Фурье. В действительной форме они имеют вид

(7.5.3)

(7.5.4)

Из последнего соотношения вытекает, что

(7.5.5)

Физический смысл спектральной плотности можно уяснить на следующем примере. Пусть x(t) - элек­трический ток. Тогда, если он протекает по резистору, имеющему сопротивление 1 Ом, то выделенная сред­няя мощность будет равна М[х²(t)]=D_x. Эта мощ­ность выделена во всем интервале частот от 0 до ∞. Поэтому спектральная плотность пропорциональна мощности, выделяемой на единичном сопротивлении в диапазоне частот от ω до (ω +∆ω).

Аналогично вводится понятие взаимной спектраль­ной плотности двух случайных функций. Взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность двух стационарных (эргодических) случайных функций X(t) и Y(t) связаны прямым и обрат­ным фурье-преобразованиями:

(7.5.6)

(7.5.7)

На рис. 7.4 показаны спектральная плотность и корреляционная функция двух стационарных случай­ных функций. Чем медленнее изменяется K_x(τ), тем быстрее изменяется S_x(ω) (кривые 2); чем быстрее меняется S_х(ω),

тем медленнее меняется K_x(τ) (кри­вые 1).

Рисунок 7.4

В теории случайных функций используется понятие стационарного белого шума, которым называют ста­ционарную случайную функцию, спектральная плот­ность которой постоянна: S_x(ω)=s₀=const. Корре­ляционная функция стационарного белого шума

(7.5.8)

Учитывая, что

(см. (4.1.10) и (3.2.18)), имеем K_x(τ)=2πs₀δ(τ), где δ(τ) - дельта-функция; коэффициент 2πs₀ называют интенсивностью стационарного белого шума.

Так как дельта-функция при τ≠0 равна нулю, то это означает некоррелированность любых двух сече­ний случайной функции. Так как реализовать белый шум невозможно (для этого нужна бесконечная мощ­ность источника энергии), то белый шум является ма­тематической абстракцией, полезной для моделирова­ния случайных процессов.