2. Математическая модель объекта управления

Подводя итог сказанному выше, назовем уравне­ние (1.1.1) математической моделью объекта управ­ления, если:

1) указана область N(X, U, t) ≥ 0 определения функции F(X, U, t);

2) указан интервал времени Т=[t_н, t_к] (или [t_н,∞), если t_к= ∞), на котором наблюдается дви­жение;

3) указан класс допустимых управлений;

4) область N(X,U,t) и функция F(X,U,t) тако­вы, что уравнение (1.1.1) имеет единственное решение, определенное при любом t T, X_o N(X,U,t), ка­ково бы ни было допустимое управление U. (Сове­туем подумать над условием 4.)

Имея описание объекта управления (более подробно см. гл.2), ТАУ решает две главные задачи:

- задачу программирования, то есть определения (выбора) U(t), при котором гарантируется достиже­ние цели из Х_н = X(t_н);

- задачу определения закона обратной связи.

Для того чтобы эти задачи были разрешимы, не­обходима полная управляемость объекта, описывае­мого математической моделью. Под полной управляе­мостью объекта понимают следующее: каковы бы ни были Х(0) - начальное и Х(Т) - конечное состояния, удовлетворяющие неравенству (1.1.2), найдется хотя бы одно допустимое управление U(t) и интервал Т, при которых цель управления достижима. В случае если существуют такие Х(0), X(T) N, что для лю­бого допустимого управления U(t) цель управления недостижима, то говорят, что объект управляем не­полностью.

Очевидно, что хорошо бы было, имея математиче­скую модель объекта управления, заранее выяснить, является ли объект полностью управляемым или нет, то есть найти какие-нибудь просто проверяемые крите­рии управляемости. Некоторые успехи на этом пути имеются, однако для начального курса ТАУ изло­жение их слишком сложно, да и использование их практически весьма затруднительно. Поэтому, упомянув об их наличии для большей полноты изложения, вернемся к главным задачам ТАУ.

Первая задача, вернее, один из путей ее решения, основанный на волевом решении главного конструк­тора, ранее упоминалась. Обсуждение второй зада­чи - определения закона обратной связи - отложим на конец этой главы, так как для этого нам потре­буется введение еще некоторых понятий.

Путь решения задачи программирования, когда программная траектория управляемого движения за­дается, особенно прост и нагляден, если это движение известно заранее (например, поддержание постоян­ного напряжения на зажимах генератора), или легко рассчитывается (например, изменение курса движу­щегося судна в зависимости от положения его руля). Остающаяся в нашем распоряжении «свободная» век­тор-функция U должна обеспечивать движение объ­екта по этой траектории, но ее вид может выбираться. Так, U может быть функцией вектора состояния си­стемы U= U(X), функцией времени U=U(t) или иметь более общий вид U(X, t).

Допустим, что имеется некоторое множество управлений, гарантирующих достижение цели; тогда среди них можно выбрать какое-то, наилучшим об­разом удовлетворяющее (оптимизирующее) некото­рому дополнительному требованию. Таким требова­нием, например, в случае автопилота может быть желание иметь минимальные перегрузки или минимальный расход топлива. Задавая заранее программ­ную траекторию, мы уменьшаем поле (область) оптимизации выбора управления. Поэтому в таких случаях, когда помимо цели управления выдвигается еще некое требование, часто называемое «плата за принятое управление», применяют другой способ ре­шения задачи программирования, а именно ищут до­пустимое управление, минимизирующее некую плату за управление. Более подробно вопросы, связанные с решением этой трудной задачи, будут рассмотрены в главе 8, а пока дадим лишь математическую форму­лировку задачи.

Имеется: математическая модель объекта управле­ния, цель управления и начальное состояние объекта, а также некая функция G(X,t)-математический аналог функции платы за управление, причем

(1.2.1)

есть плата за принятое управление.

Смысл выражения (1.2.1) (более подробно см. гл. 8) заключается в том, что ΔG рассматривается на множестве траекторий, переводящих объект из заданного начального состояния (н. с.) в заданное конечное состояние (к. с.) (цель управления), и на этих траекториях вычисляется каждый раз величина ΔG, зависящая от н. с. и к. с., и являющаяся платой за управление.

Требуется: найти среди допустимых управлений такое, при котором цель управления достигается, а плата за управление минимальна. Решение U° и Х° этой задачи называется программой управления.

В главе 8 рассматриваются некоторые наиболее простые случаи реализации программы управления.