6.2. Прямые методы определения показателей качества

В случае если удается найти аналитическое выра­жение для переходного процесса и построить график или экспериментально зафиксировать его, то не со­ставляет труда оценить непосредственно исследуемый процесс по вышеприведенным показателям качества.

Методы, позволяющие произвести подобную опера­цию, называются прямыми методами определения по­казателей качества.

Перечислим прямые методы определения показателей каче­ства. К ним относятся: а) методы, основанные на при­менении современной вычислительной техники; б) ча­стотные методы, основанные на обратном преобразо­вании Фурье. Опишем более подробно каждый из этих методов.

Метод, основанный на использовании операционного исчисления. В п. 3.2.2 было показано, что переходный процесс в САУ, описывае­мой линейным дифференциальным уравнением с по­стоянными коэффициентами, может быть вычислен по формуле

, (6.2.1)

в которой для обратного преобразования Лапласа не­обходимо знать корни р_j (j = 1,2,..., п) характери­стического уравнения

D(p)=0. (6.2.2)

Следовательно, суть вопроса при использовании этого метода состоит в практическом умении определять корни характеристического уравнения системы, имею­щей любой достаточно высокий порядок. Алгоритмы решения такой задачи реализованы практически на всех современных ЭВМ.

Частотные методы, основанные на об­ратном преобразовании Фурье. Так как рассматриваемые в данном разделе линейные САУ за­ведомо устойчивы, то есть все полюсы передаточной функции лежат слева от мнимой оси, то можно в пре­образовании Лапласа считать σ₀=0 и перейти к пре­образованию Фурье. Это позволяет произвести расчет переходного процесса при помощи аналитических или экспериментально найденных частотных характери­стик, использованных нами ранее при изучении устойчивости САУ. Отсутствие необходимости решать характеристическое уравнение системы, а также хо­рошо разработанные способы расчета и возможность использования экспериментально найденных частотных характеристик делают эти методы весьма удобными. В следующей подглаве будет изложен один из таких методов.

6.3. Связь переходного процесса с вещественной частотной характеристикой системы

Пусть исследуемая нами линейная САУ имеет ча­стотную характеристику W(iω). Подадим на вход си­стемы единичный импульс δ(t) и согласно (3.2.19) найдем весовую (импульсную переходную) функцию системы:

(6.3.1)

Мы учли, что δ(t) 1. Так как W(iω)=K(iω)/D(iω), где K(iω) и D(iω) - многочлен степени т и п (п≥т) от iω, то

Re W (-iω) = Re W (iω), Im W(-iω)=- Im W(iω) (6.3.2)

(см.(5.7.8)). Так как

то, преобразуя интеграл, стоящий в правой части (6.3.1), получим (6.3.3)

При отрицательных значениях времени оригинал то­ждественно равен нулю и, следовательно,

(6.3.4)

откуда

(6.3.5)

Таким образом, окончательно имеем

(6.3.6)

или, что эквивалентно,

(6.3.7)

Ранее в п. 3.2.2 нами была найдена связь между переходной функцией h(t) и весовой функцией w(t):

(6.3.8)

откуда, в соответствии с (6.3.6), находим

Меняя порядок интегрирования и учитывая, что

имеем

(6.3.9)

Полученное нами уравнение (6.3.9) позволяет рас­считать переходный процесс системы по вещественной части комплексной частотной характеристики систе­мы. На практике часто вещественная частотная характеристика задается таблицей или графиком, полу­ченным из эксперимента. Но даже если для Re W(iω) имеется аналитическое выражение, то и тогда бывает, что непосредственное вычисление интеграла (6.3.9) затруднительно. Поэтому для этих целей обычно исполь­зуют ЭВМ.