5.10. Устойчивость импульсных сау

Устойчивость импульсных САУ основывается на уравнении (3.3.20). В частности, из него вытекает не­обходимое и достаточное условие того, чтобы свобод­ное движение системы, описываемой разностным ура­внением (3.3.17), было бы затухающим (условие ус­тойчивости: ):

|z_j| (j=1, 2, ..., m). (5.10.1)

Графически условие (5.10.1) означает, что все корни характеристического уравнения должны лежать вну­три круга радиуса 1, как это изображено на рис. 5.7. Для того чтобы применить развитый нами в главе 5 математический аппарат, позволяющий исследовать устойчивость систем, не вычисляя величин самих корней (алгебраические и частотные критерии устойчивости), производят в характеристическом урав­нении подстановку z=(w+1)/(w-1). Эта подста­новка, как нетрудно видеть, преобразует внутренность единичного круга на плоскости z в левую полуплос­кость на плоскости w. Таким образом, условие устой­чивости (5.10.1) будет иметь эквивалент на плоскости w, заключающийся в том, что все корни преобразован­ного характеристического уравнения должны лежать в левой

полуплоскости w, то есть весь аппарат главы 5 непосредственно переносится для исследования устой­чивости импульсных линейных САУ.

Рисунок 5.7

5.11. Устойчивость нелинейных сау

Задачи, возникающие при исследовании нелиней­ных САУ, значительно сложнее, чем рассмотренные ранее в этой главе. Во-первых, при исследовании ус­тойчивости линейных САУ нас не интересовали вели­чины начальных отклонений от равновесного положе­ния, так как требование Re {λ_j} < 0 (j = 1, 2, ..., п) приводит к тому, что за достаточно длительный про­межуток времени при любых начальных отклонениях система вернется в состояние равновесия. В то же время нелинейные САУ могут быть устойчивы при «малых» отклонениях, но неустойчивы при «боль­ших». Иначе говоря, на устойчивость нелинейных САУ существенно влияет величина возмущения.

Во-вторых, методы, ранее развитые для исследова­ния нелинейных САУ, сводились к методам их линеа­ризации, и поэтому возникает законный вопрос, как влияют отброшенные члены более высоких порядков на устойчивость реальных нелинейных САУ.

Ответы на многие вопросы, связанные с устойчи­востью нелинейных САУ, были даны А. М. Ляпуно­вым в его классической работе «Общая задача об ус­тойчивости движения». Ограничимся формулировками его теорем, справедливых лишь при исследовании ус­тойчивости нелинейных САУ в малом.

Теорема 5.11.1. Реальная нелинейная система будет асимптотически устойчива, если все корни ха­рактеристического уравнения линеаризованной систе­мы имеют отрицательные вещественные части.

Теорема 5.11.2. Реальная нелинейная система будет неустойчива, если хотя бы один корень харак­теристического уравнения линеаризованной системы имеет положительную вещественную часть.

Теорема 5.11.3. Если характеристическое урав­нение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или пару чисто мнимых корней, то су­дить об устойчивости реальной системы по линеаризо­ванным уравнениям нельзя.

Таким образом, можно сделать вывод, что в слу­чаях, рассмотренных в теоремах 5.11.1 и 5.11.2, отбро­шенные при линеаризации члены более высокого по­рядка не влияют на устойчивость реальных САУ, а в случае теоремы 5.11.3 - играют основную роль, суще­ственно влияя на динамику процесса в системе.