5.7. Частотные критерии устойчивости

В некоторых случаях особенно, если в системе имеются запаздывающие звенья, оказывается более удобным исследовать устойчивость системы, применяя частные критерии, обладающие большой наглядностью в силу их простой геометрической интерпретации.

Критерий Михайлова. Пусть дано харак­теристическое уравнение

(5.7.1)

Представим полином D(p) в виде

(5.7.2)

где p_j - корни уравнения. Положим р=iω, а разность z_j(iω)=iω-p_j комплексных чисел запишем в геоме­трическом виде (рис. 5.4):

(5.7.3)

тогда

(5.7.4)

Рисунок 5.4

Найдем Δθ(ω) - угол поворота или, что то же са­мое, изменение аргумента комплексного числа D(iω) при изменении ω от -∞ до ∞. Положительное напра­вление отсчета угла считаем против часовой стрелки. Как видно из рис. 5.4, если корень p_j лежит в левой полуплоскости, то

Δθ_j(ω)=π (-∞<ω<∞), (5.7.5а)

а если в правой , то

Δθ_j(ω)=-π (-∞<ω<∞). (5.7.5б)

Ясно, что если уравнение D(p) = 0 имеет l корней в правой полуплоскости и соответственно п - l корней в левой полуплоскости, то

(5.7.6)

Теорема 5.7.1. Для устойчивости системы авто­матического управления, имеющей характеристическое уравнение (5.5.1), необходимо и достаточно, чтобы

Δθ(ω)=πn (-∞<ω<∞). (5.7.7)

Доказательство. Так как необходимым и до­статочным условием устойчивости САУ является рас­положение всех корней уравнения D(p) = 0 в левой полуплоскости, то l должно равняться нулю, откуда и получаем условие (5.7.7).

Построим геометрическое место точек конца век­тора на комплексной плоскости (годограф Михай­лова). Замечая, что Re {D(iω)} при действительных а_j (j=0,1, ..., п) есть четная функция частоты, а Im {D(iω)} -нечетная функция частоты, то есть

Re {D(iω)} = Re {D (- iω)},

Im {D(iω)} = -Im {D(-iω)}, (5.7.8)

можно ограничиться половинным диапазоном измене­ния ω (0≤ω < ∞), так как годограф Михайлова бу­дет симметричен относительно вещественной оси (так называемая зеркальная симметрия). При изменении ω в пределах [0, ∞) условие (5.7.7) переходит в усло­вие

(5.7.9)

Таким образом, сформулируем следующую теорему.

Теорема 5.7.2 (критерий Михайлова). Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, что­бы годограф Михайлова, начинаясь при ω = 0 на дей­ствительной оси, с увеличением ω от 0 до ∞ обхо­дил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) п квадратов, где п- порядок характеристического уравнения.

На рис. 5.5, а приведены годографы Михайлова для устойчивых систем при различных значениях п. Пунк­тиром показана часть годографа при изменении ω от - ∞ до 0 для п= 5. На рис. 5.5, б - те же годографы для неустойчивых САУ.

Рисунок 5.5

Следствие. Из теоремы 5.7.2 (критерия Михай­лова) вытекает: для устойчивости линейной САУ не­обходимо и достаточно, чтобы нули полиномов Re {D(iω)} и Im {D(iω)} чередовались и были вещест­венны и чтобы Re {D(iω)} и d Im {D(iω)}/dω были положительны при ω = 0.

Это следствие наглядно вытекает из рассмотрения годографа Михайлова устойчивой САУ (см. рис. 5.5, а).

Критерий Найквиста. Этот критерий отли­чается от критерия Михайлова тем, что об устойчиво­сти замкнутой системы судят по виду амплитудно-фа­зовой характеристик разомкнутой системы, которую можно получить как аналитически, так и эксперимен­тально. Это обстоятельство выгодно отличает рассма­триваемый критерий устойчивости от ранее изложен­ных.

Пусть передаточная функция разомкнутой линей­ной САУ W(p)=F (p)/D (р); тогда W_замк(р)=W(р)/(1+W(p). Введем вспомогательную функцию

Числитель этой функции представляет собой левую часть характеристического уравнения замкнутой си­стемы, а знаменатель - левую часть характеристиче­ского уравнения разомкнутой системы.

Рассмотрим годограф вспомогательной функции 1+W(iω) при изменении ω в пределах 0 ≤ω < ∞:

где θ(ω)=θ₁(ω)-θ₂(ω), θ₁(ω) - аргумент (фаза) функции F(iω)+D(iω) (замкнутая система), θ₂(ω) - аргумент (фаза) функции D(iω) (разомкнутая систе­ма). Требование устойчивости САУ в замкнутом со­стоянии выразится в равенстве Δθ₁(ω)=nπ/2 (0≤ω<∞) (критерий Михайлова (5.7.9)), но

Δθ(ω)= Δθ₁(ω) - Δθ₂(ω). (5.7.10)

Пусть система в разомкнутом состоянии неустой­чива и имеет l корней в правой полуплоскости. Тогда, согласно (5.7.6) , с учетом изменения ω от 0 до ∞

и, следовательно, из (5.7.9) и (5.7.10) имеем

(5.7.11)

Так как вспомогательная функция 1+W(iω) от­личается от частотной характеристики W(iω) разомк­нутой системы лишь на +1, то условие устойчивости (5.7.11) можно непосредственно перенести на W(iω).

Таким образом, нами доказана следующая тео­рема.

Теорема 5.7.3 (критерий Найквиста). Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и до­статочно, чтобы частотный годограф разомкнутой си­стемы W(iω) при изменении ω от 0 до ∞ охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1,i0), где l - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоско­сти.

Из этой теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Если разомкнутая система устой­чива (l=0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф W(iω) при изменении ω от 0 до ∞ не охватывал точку (-1, i0).

Пример 5.7.1. На рис. 5.6 изображен годограф частотной характеристики для разомкнутого колебательного звена. Как видно из рис. 5.6, этот годограф не охватывает

точку (-1,i0), и так как разомкнутое колебательное звено устойчиво (Re p₁<0, Re p₂ < 0), то устойчивым будет и замкнутое колебательное звено.

Рисунок 5.6

Заметим, что для применения частотного критерия устойчивости Найквиста необходимо знать, устойчива или неустойчива система в разомкнутом состоянии. При этом, если система в разомкнутом состоянии не­устойчива, то следует определить количество корней ее характеристического уравнения, имеющих положи­тельные вещественные части. Только в этом случае мо­жно применить частотный критерий устойчивости Найквиста к исследованию устойчивости замкнутой системы.