1. Основные задачи теории автоматического управления

1. Формулировка задачи управления

Системы управления (СУ) создаются для дости­жения вполне определенных целей. Для того чтобы достичь заданной цели, необходимо определить за­кон управления каким-либо объектом. Теория автоматического управления - наука о методах определе­ния этих законов для объектов, допускающих их реализацию средствами автоматики. Разновидность автоматического управления представляет собой автоматическое регулирование, то есть поддержание по­стоянными каких-либо величин, характеризующих процесс, или изменение этих величин по определен­ным законам. Понятно, для того чтобы это было воз­можно осуществить, необходимо наличие измери­тельных приборов, преобразователей сигналов этих приборов в сигналы к исполнительным устройствам, в свою очередь оказывающим воздействие на объект управления.

Теория автоматического регулирования, предше­ствовавшая теории автоматического управления, при решении главной задачи автоматического управле­ния - выбора допустимого закона управления, гаран­тирующего достижения цели, - как правило, исходи­ла из следующего способа решения задачи. Главный конструктор волевым решением назначал заранее определенный вид движения, заведомо приводящего к цели, а затем подбиралось соответствующее этому движению управление.

Рассмотрим эти несколько абстрактные утвержде­ния на более конкретных примерах. Возьмем ставший на сегодняшний день классическим

примером летательного аппарата, управляемого автопилотом, который совмещает в себе набор перечисленных выше прибо­ров - измерительных, преобразующих и исполнитель­ных, с помощью которых можно многократно изме­нять положение рулей и величину тяги и тем самым изменять траекторию полета аппарата. Пилот по за­данной цели (например, место и время приземления) выводит самолет на расчетный курс и включает авто­пилот. Измеряя отклонения от расчетной траектории, автопилот вырабатывает сигналы, которые по задан­ному закону управления меняют положение рулей и величину тяги так, чтобы самолет следовал по рас­четной траектории.

Автопилот в общем случае, помимо этой кривой, задаваемой радиус-вектором r(t) центра тяжести, где t здесь и в дальнейшем обозначает время, обя­зан также учитывать вектор скорости самолета, углы атаки и тангажа и так далее. Таким образом, траектория движения самолета может быть описана движением точки в некотором n-мерном пространстве, в качестве координат которого будут выбраны перечисленные параметры, характеризую­щие движение самолета. Это пространство, отражаю­щее всевозможные мгновенные состояния, называется фазовым пространством и является весьма удобным для рассмотрения «движения» объектов управления в теории автоматического управления (ТАУ).

С конкретными примерами, показывающими, как воплощается словесное описание в формализованную математическую модель, вы ознакомитесь в главе 2. Здесь же главное - понять основные принципы теории автоматического управления, не отвлекаясь на частные примеры. Эта глава аккумулирует основные положения всего учебника. Возвращайтесь к ней по­чаще, усвоив очередной раздел учебника.

Описывая какой-либо объект управления (самолет или корабль, химический или атомный реактор, элек­трическую или топливную печь и так далее) n-мерным вектором X(t), координаты которого дают однознач­ную мгновенную характеристику объекта, мы полу­чим фазовую траекторию, описываемую «концом» вектора X(t) и отражающую, как меняется со вре­менем состояние объекта управления.

Часто говорят также, что вектор X(t) описывает фазовое состояние системы. В этом утверждении не­явно предполагается, что существует набор готовых к действию измерительных приборов, способных не­прерывно производить в любой момент времени изме­рения нужных величин. Для автоматической системы «автопилот» эти величины частично были перечисле­ны, для химического реактора такими величинами будут температура, давление, массы веществ, уча­ствующих в реакции, и так далее.

В принятой в ТАУ терминологии в таких случаях говорят, что объект управления наблюдаем по дан­ным величинам. Важность данного замечания хорошо иллюстрирует пример управления продольным движе­нием самолета. Так, несмотря на десятки лет суще­ствования авиации, прибора, измеряющего возмуще­ние угла атаки крыла самолета или его высоту вблизи земли, к концу XX века не было. Понятно, что если управляющая си­стема не имеет информации о значении какой-либо величины, то она не в состоянии ею управлять.

В этом, пожалуй, заключается основное отличие автоматических управляющих систем от автоматизи­рованных систем управления, то есть систем, в которых в качестве управляющей системы выступает человек. Опыт, интуиция, способность к неформальному мыш­лению позволяют ему принимать решения, то есть управлять также и в условиях неполноты знаний об объекте управления или самой цели управления.

Среди наблюдаемых параметров объекта управле­ния выделяют совокупность управляемых (выходных) переменных, обозначая ее вектором Y(t). Если в си­стеме осуществляется управление всеми координа­тами состояния объекта, то векторы X(t) и Y(t) сов­падают. В общем случае вектор Y (t) имеет размер­ность т, причем т<п.

В терминах фазового пространства легко форма­лизуется понятие цели управления. Обозначим Х_н=X(t_н) - начальное, a X_к=X(t_к)- конечное со­стояние объекта управления. Состояние Х_к называет­ся целью управления. В дальнейшем, когда это не вносит путаницы (так как начало отсчета времени может выбираться произвольным образом), будем считать, что t_н=0, a t_к=Т, то есть Х_н=Х(0), а Х_к=Х(Т). Таким образом, проявление воли главного конструктора на языке фазового пространства выра­жается в том, что он соединяет точку Х(0) и точку Х(Т) некой траекторией; затем рассматриваются раз­личные способы (законы) управления.

Простейшие объекты управления описываются в фазовом пространстве векторным дифференциальным уравнением вида

= F(X, U, t), (1.1.1)

где X = (x₁, x₂...,х_п) - вектор состояний объекта;

U=(U₁,U₂...,U_r) - вектор управления, который можно выбирать. В практических задачах к уравне­нию (1.1.1), как правило, добавляется неравенство, имеющее в наиболее общем случае вид

N(X, U,t)≥0. (1.1.2)

Смысл этого неравенства состоит в том, что физиче­ская характеристика объекта управления, величины управляющих воздействий, да и само время управ­ления ограничены и не могут принимать сколь угодно больших величин. Так, например, если атомный реак­тор в течение секунд или долей секунды может пре­вратиться в атомную бомбу, то естественно, что про­цесс управления должен протекать в течение этого времени, то есть должен быть указан интервал времени, на котором наблюдается движение.

В теории автоматического регулирования обычно этот интервал очень большой. Так, время полета са­молета на много порядков больше времени компен­сации его отклонений от заданной траектории. (Да­лее при рассмотрении линейных САУ этот момент будет разобран более подробно.) Понятно также, что конструируя автопилот, учитывают высотный пото­лок самолета, его максимальную скорость (дозвуко­вая, сверхзвуковая) и так далее, которые приводят к огра­ничениям на изменение фазовых координат типа

X G_X t, (1.1.3)

где g_x - некоторое множество произвольного вида, а значок « » обозначает принадлежность. Значок («для всех»), так называемый квантор всеобщности, обозначает, что условие (1.1.3) должно выполняться в любой момент времени.

Вектор управления U(t) ограничен не только тре­бованиями, накладываемыми на величины компонент, но и своей принадлежностью какому-либо классу функций. Например, мы можем выбирать управление только из класса непрерывных функций или кусочно непрерывных. Любую функцию

U(t) G_U t, (1.1.4)

где g_u - соответствующее множество управлений, на­зывают допустимым управлением.

Наряду с объектами, описываемыми уравнением (1.1.1), в ТАУ рассматриваются также объекты, опи­сываемые разностными уравнениями типа

X_k+1=X_k+τF(X_k,U_k, t_k), (1.1.5)

где τ = t_k+1- t_k, а также более общего вида:

X_k+1=F_k(X_k,U_k, t_k). (1.1.6)

Такого рода дискретные системы часто рассматри­ваются при применении ЭВМ в системе управления.

Значительно более сложными для математиче­ского исследования являются объекты управления с так называемыми распределенными параметрами, в которых ряд параметров (например, массу лета­тельного аппарата) нельзя считать сосредоточенными в одной точке. Математическая запись законов, ко­торым они подчиняются, приводит к системам урав­нений в частных производных. Еще более сложный математический аппарат используется в ТАУ при описании объектов с переменной структурой и в си­стемах с запаздыванием, в которых состояние систе­мы в данный момент времени определяется предысто­рией объекта управления.

В данном курсе будут в основном рассматривать­ся объекты управления, описываемые уравнением (1.1.1), и частично объекты, подчиняющиеся уравне­нию типа (1.1.5).