5.2. Общие теоремы об устойчивости линейных сау

Вернемся к рассмотрению уравнения (3.1.15) с точки зрения определения устойчивости его решений, то есть будем рассматривать уравнения

(5.2.1)

и соответствующее однородное уравнение

(5.2.2)

Естественно считать линейную САУ, описываемую уравнением (5.2.1), устойчивой, если все решения X=X(t) уравнения (5.2.1) устойчивы при t→∞. Ос­новополагающим утверждением при исследовании ли­нейных САУ является теорема 5.1.

Теорема 5.1. Для устойчивости линейной САУ при любом свободном члене (управлении) f(t) необ­ходимо и достаточно, чтобы было устойчивым по Ля­пунову тривиальное решение Х₀=0 (t₀<t<∞), со­ответствующее однородному уравнению (5.2.2) .

Докажем это утверждение. Необходимость. Пусть η= η(t) (t0≤ t < ∞) - некоторое устойчивое решение неоднородной системы (5.2.1). Согласно определению 5.1 это означает, что для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого решения X=X(t) системы (5.2.1) при t₀ ≤ t < ∞ справедливо

||X(t) - η (t)|| <ε (5.2.3)

если только

||X(t₀) - η (t₀)|| <δ. (5.2.4)

Но, как было показано в главе 3 (см. (3.1.19)),

Y(t)=X(t)-η(t) (5.2.5)

является решением линейной однородной системы (5.2.2), причем любое ее решение может быть пред­ставлено в таком виде, и, следовательно, из (5.2.3) и (5.2.4) получаем ||Y(t)||<ε при t₀≤t<∞, если только ||Y(t)||<δ. Отсюда вытекает, что тривиаль­ное решение Х₀≡0 соответствующей однородной системы (5.2.2) устойчиво по Ляпунову при t→∞.

Достаточность. Пусть тривиальное решение Х₀≡0 однородной системы (5.2.2) устойчиво по Ля­пунову при t→∞. Тогда если Y(t) (t₀≤t<∞) — произвольное решение однородной системы такое, что ||Y(t)||<δ(ε,t₀), то ||Y(t)||<ε при (t₀≤t<∞).

Следовательно, если η(t) - некоторое решение линейной неоднородной системы (5.2.1) и X(t) - про­извольное решение этой системы, то из неравенства ||X(t₀) - η (t₀)|| <δ вытекает ||X(t) - η (t)|| <ε при t₀ ≤ t <∞, что и доказывает устойчивость η(t) по Ляпунову.

Таким образом, поведение решений линейной неод­нородной системы (5.2.1) с любым свободным членом f(t) в смысле устойчивости такое же, как поведение решений соответствующей однородной системы (5.2.2). Поэтому в дальнейшем ограничимся изучением устой­чивости лишь однородных линейных дифференциаль­ных систем, причем асимптотической устойчивости. Ли­нейную САУ назовем асимптотически устойчивой, если все решения системы (5.2.1), ее описывающей, асим­птотически устойчивы при t → ∞.

По аналогии с выше доказанной теоремой 5.1 про­сто доказать теорему 5.2.

Теорема 5.2. Линейная САУ, описываемая си­стемой (5.2.1), асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение Х₀=0 со­ответствующей однородной системы (5.2.2) асимптотически устойчиво при t→ ∞.

Приведем без доказательства еще одну теорему, которая обосновывает рассуждения, приведенные в начале этой главы.

Теорема 5.3. Линейная однородная дифферен­циальная система (5.2.2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения X=X(t) стремятся к нулю при t→ ∞, то есть