5. Устойчивость систем автоматического управления

Прежде чем дать точное математическое описание вопросов, связанных с понятием устойчивости, пока­жем, как связана теория регулирования с основными положениями теории устойчивости на менее строгом уровне. Вернемся к проектированию автопилота, а именно к уравнению типа (1.18), описывающего дви­жение объекта управления (в выбранном нами при­мере - самолета):

(5.1)

Здесь, как и раньше, X(t)- вектор, описывающий траекторию самолета в фазовом пространстве, ξ - случайный вектор возмущений, а Р - вектор конструктивных параметров автопилота, которые выби­раются конструктором так, чтобы обеспечить дости­жение цели управления. Зная расчетную траекторию, всегда можно выбрать такое преобразование координат, чтобы при отсутствии возмущений этой траекто­рии отвечали нулевые значения фазового вектора, то есть

F(0,t,P,0)≡0. (5.2)

Пусть в некоторый момент времени t = t_o самолет попал в воздушную яму, то есть отклонился в результате возмущения от расчетной траектории

X (t₀) = X0 ≠ 0. (5.3)

Очевидно, что необходимым условием достижения це­ли является условие стремления к нулю с течением времени отклонения от расчетной фазовой траектории. Это означает, что для компонент вектор-функции X(t), определяющей отклонение от расчетной траек­тории, выполняется условие

(5.4)

Условие (5.4) является некой идеализацией, так как в реальности достижение цели управления всегда должно происходить за конечный промежуток време­ни Т. Однако если время затухания отклонения много меньше длительности полета, то такая идеализация допустима, а исследование поведения функции при t →∞ оказывается более простым, чем на конечном интервале.

Условие (5.4) называют условием асимптотической устойчивости тривиального (X=0) решения уравне­ния (5.1). Как правило, конструктора интересует не только вопрос - устойчив ли полет самолета с дан­ными параметрами, но и области изменения парамет­ров автопилота (вектор Р), при которых объект ус­тойчив.

При исследовании устойчивости плодотворна идея линеаризации, неоднократно использованная и преды­дущих главах. В самом деле, поскольку отклонения от расчетной траектории должны быть малыми, то, отбрасывая члены второго порядка малости, получим линеаризацию уравнения (5.1) в виде

Х = АХ, (5.5)

где А={а_ij} (i=1,2,..., п, j=1,2, ..., п) - ма­трица ∂F/∂Х |_{X=0, ξ=0}, коэффициенты которой есть функции компонент вектора Р и времени t.

Наиболее простой случай исследования - устойчи­вость стационарных движений, при которых правая часть в уравнении (5.1) не содержит в явном виде времени и поэтому элементы матрицы А постоянны. При этом вопрос асимптотической устойчивости, как будет показано ниже, сводится к чисто алгебраиче­ской задаче.

5.1. Основные понятия теории устойчивости (математическая формулировка)

Рассмотрим уравнение

(5.1.1)

где вектор-функция F(X,t) непрерывна по времени при а < t < b и имеет непрерывные частные произ­водные 1-го порядка по х₁,х₂,...,х_п - компонентам вектора X в некой области D_x. При этих условиях справедлива теорема Коши: для каждой системы значений (t_o, X(t_o)) существует единственное решение X=X(t) уравнения (5.1.1), определенное в некото­ром интервале времени и удовлетворяющее началь­ному условию X(t₀)=X₀, то есть задача Коши однознач­но разрешима.

Для системы дифференциальных уравнений с не­прерывной правой частью и свойством единственности имеет место интегральная непрерывность решений, а именно: если X(t) (a<t<b) есть решение (5.1.1), то

для любых ε > 0 и [α, β] [а, b] существует δ > 0 такое, что решение , определяемое началь­ным условием , где и | будет иметь смысл при a ≤ t ≤ β, при­чем для (рис.5.1).

Рисунок 5.1

Определение 5.1. Решение η= η(t) (a<t<∞) уравнения (5.1.1) называется устойчивым по Ляпунову при t→∞, если для любого ε > 0 и существует δ=δ(ε,t₀) > 0 такое, что

1. Все решения (5.1.1), удовлетворяющие условию

(5.1.2)

определены в промежутке при t₀<t<∞, то есть при .

2. Для этих решений справедливо неравенство

при t₀ ≤ t < ∞. (5.1.3)

Иными словами, решение η(t) устойчиво, если доста­точно близкие к нему в любой начальный момент t₀ решения X(t) целиком погружаются в сколь угодно узкую ε-трубку, построенную вокруг решения η(t) (рис. 5.2).

Рисунок 5.2

Из неравенств (5.1.2) и (5.1.3) по смыслу выте­кает, что всегда можно выбрать δ≤ε. В частности, при F(t,0) 0 тривиальное решение (расчетная тра­ектория - равновесное состояние) η(t) 0 (а < t < ∞) устойчиво, если для любых ε > 0 и t₀ (а, ∞) существует δ = δ (ε,t₀) > 0 такое, что из неравенства следует неравенство при t₀≤t<∞.

Среди множества устойчивых по Ляпунову реше­ний выделяют равномерно устойчивые решения. Если число δ > 0 в определении 1 можно выбрать не зави­сящим от начального момента времени t₀, то есть δ =δ(ε), то устойчивость называется равномерной.

Определение 5.2. Решение η=η(t) (a<t<∞) называется асимптотически устойчивым при t→∞, если:

1) это решение устойчиво по Ляпунову;

2) для любого t (а, ∞) существует Δ=Δ(t) >0 такое, что все решения X=X(t)(t₀≤t<∞), удовлетворяющие условию , обладают свойством

Таким образом, асимптотическая устойчивость есть «устойчивость с нагрузкой».

Для тривиального решения η(t)≡0 условия асимптотической устойчивости в соответствии с опре­делением 2 будут иметь вид:

1) устойчивость по Ляпунову,

2) при ||X (t₀)|| < Δ.

(Физический смысл величины Δ, может быть, станет более ясным из рис. 5.3, где показан шарик в ямке глубиной h. Очевидно, что шарик будет иметь устой­чивое равновесие только при отклонениях в пределах ямки.)

Рисунок 5.3

Если зафиксировать t₀, то область ||X||<Δ(t₀) яв­ляется областью притяжения положения равновесия. Если Δ=∞, то говорят, что решение асимптотически устойчиво в целом.

Пусть наряду с системой (5.1.1) имеется возму­щенная система

(5.1.4)

Определение 5.3. Решение η=η(t) (a<t<∞) системы (5.1.1) называется устойчивым при по­стоянно действующих возмущениях, если для любых ε >0 и t₀ (а,∞) существует δ=δ(ε, t₀) такое, что при ||φ(t, Z)|| < δ все решения Z=Z(t) системы (5.1.4), удовлетворяющие условию ||Z(t₀)||<δ, опре­делены на промежутке (а, ∞), причем ||Z(t) - η (t)|| <ε при t₀≤ t < ∞.

Используя свойство интегральной непрерывности решений, можно доказать, что если решение η=η(t) (a<t<∞) системы (5.1.1) устойчиво по Ляпунову для какого-нибудь фиксированного момента t₀ (а,∞), то оно будет устойчиво по Ляпунову для любого t₀ (а,∞), то есть будет устойчивым в смысле опреде­ления 5.1.

Таким образом, при проверке устойчивости реше­ния, а также его асимптотической устойчивости мож­но ограничиться проверкой лишь для некоторого за­данного начального момента времени t₀.

Из сказанного выше непосредственно следует, что если решение η(t) (a<t<∞) неустойчиво при t=t₀, то оно неустойчиво для любого другого момен­та времени (а, ∞).