4.3. Автоколебания нелинейных сау

В начале этой главы было упомянуто о явлении автоколебаний - явлении, присущем только нелиней­ным САУ. Так как наличие автоколебательных про­цессов в САУ делает ее неустойчивой, то понятна важность исследования этого вопроса.

Анализ равновесных (особых) точек нелинейных САУ, проведенный в § 4.1 и опирающийся на линеари­зацию реальных САУ, очевидно, справедлив лишь при малых отклонениях от положения равновесия. При больших же отклонениях картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной. Так, например, во многих реальных системах в неустойчивых случаях фазовые траектории не будут ухо­дить в бесконечность, а будут сходиться к некоторой замкнутой траектории на фазовой плоскости. Практи­чески это соответствует тому, что неустойчивая линеа­ризованная САУ как бы превратится в «устойчивую» нелинейную автоколебательную систему. В данном месте под словом «устойчивость» понимается стабиль­ность амплитуды и частоты возникшего автоколеба­ния при различного рода возмущениях.

Ситуация, изложенная выше, может быть предста­влена на фазовой плоскости картиной фазовых траек­торий, изображенных на рис.4.6. Замкнутый кон­тур, выделенный жирной линией на этом рисунке, носит название предель­ного цикла и соответ­ствует автоколебаниям системы. Как видно из рис. 4.6, предельный цикл может быть устойчив (случай а) или неустой­чив (случай б). В первом случае фазовые траекто­рии стремятся изнутри и извне, вне зависимости от начальных условий, к замкнутой кривой пре­дельного цикла, во вто­ром - удаляются от нее.

На рис. 4.7 показаны переходные процессы в САУ (кривые 2, 3), обладающей устойчивым пре­дельным циклом, при различных начальных отклонениях. Кривая 1 ха­рактеризует установив­шиеся автоколебания. Заметим, что, вообще говоря, на фазовой плоскости мо­жет существовать несколько предельных циклов.

Используя метод гармонической линеаризации, мо­жно аналитически рассчитать процесс автоколебаний. Будем считать, что в некоторой системе х_вк=0, а за­висимость y=F(x) заменим соотношением, вытекаю­щим из (4.2.34):

(4.3.1)

Полагая, как и ранее, передаточную функцию линей­ной части W(p)=K(p)/D(p), получим в оператор­ном виде следующее соотношение для замкнутой не­линейной САУ:

(4.3.2)

- аналог соответствующего соотношения для линей­ной САУ. Появление незатухающих колебаний (авто­колебаний) соответствует паре чисто мнимых корней характеристического уравнения. Поэтому, если под­становка р =iω

в линеаризованное характеристиче­ское уравнение

(4.3.3)

позволяет найти какие-нибудь вещественные положи­тельные значения А₀ и ω_о, удовлетворяющие (4.3.3), то это означает возможность автоколебаний в САУ. Алгебраически вышесказанное означает, что, поло­жив р =iω в (4.3.3) и выделив вещественную и мнимую части, получим два уравнения с двумя неизвест­ными:

(4.3.4)

решение которых и определяет А₀ - амплитуду коле­баний и ω - их частоту.

Определив параметры автоколебаний, необходимо оценить их устойчивость, чтобы выяснить, осуществ­ляется ли данный автоколебательный процесс в реаль­ности. Для приближенной оценки устойчивости авто­колебаний можно воспользоваться следующими сооб­ражениями. Если автоколебания в системе устойчивы и имеют амплитуду A₀, то при замене этой амплитуды в уравнении (4.4.3) величиной А₁ > А₀ пара чисто мнимых корней ±ω_о должна замениться парой комп­лексно-сопряженных корней с отрицательной дей­ствительной частью, а при замене А₁<A₀ - парой комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью.

б

Рисунок 4.6

Рисунок 4.7