4.2. Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений

В этом разделе будут рассматриваться методы ли­неаризации для достаточно узкого, но имеющего ши­рокое практическое применение класса нелинейных дифференциальных уравнений. Эти методы основы­ваются на возможности приближенного описания ис­следуемой системы с помощью некоторой специаль­ным образом выбираемой «идеальной» системы, «поведение» которой нам известно.

Пусть имеется объект управления, который описы­вается системой вида

(4.2.1)

Будем считать, что нам известно решение этого урав­нения при ε=0:

(4.2.2)

где С - вектор произвольных постоянных, соответст­вующий неким начальным условием объекта управле­ния. Систему

(4.2.3)

называют порождающей системой, а решение (4.2.2) - порождающим решением.

Возникает весьма естественный вопрос - в каком соответствии находится порождающее решение с ре­шением системы (4.2.1). Как построить (если это воз­можно) последовательность процедур, позволяющую с любой степенью точности построить решение систе­мы (4.2.1) на основании (4.2.3). Перечисленные воп­росы находят свое разрешение в теории возмущений. Первым и одним из основных результатов этой теории является знаменитая теорема Пуанкаре, которую мы приведем немного позже (с. 110). Область ее приме­нения ограничена требованием аналитичности, то есть разложимости в ряд функции F (по Х и ε).

Будем искать решение задачи Коши (гл. 3) с на­чальным условием

Х(0)=Х₀ (4.2.4)

для системы (4.2.1) в виде X(t,ε). Наряду с системой (4.2.1) будем рассматривать порождающую систему

(4.2.5)

с тем же начальным условием. Сделаем замену пере­менной X=Z + Y в (4.2.1), считая, что решение Z(t) известно. Вектор Y будет удовлетворять системе

(4.2.6)

и нулевому начальному условию

Y (0) = 0. (4.2.7)

Используя свойство аналитичности функции F(X,t,ε), перепишем (4.2.6) в виде

(4.2.8)

где А={∂F_i/∂х_j} - квадратная матрица частных про­изводных, вычисленных при Y=0, ε=0; F_i и x_j - ком­поненты соответствующих векторов; ∂F/∂ε - вектор с компонентами (∂F_i/∂ε)_o; B(Y, ε, t) - совокупность членов разложения более высокого порядка. Так как предполагалось, что решение порождающего уравне­ния Z(t) известно, то, следовательно, известны А и ∂F/∂ε как функция времени.

Будем искать решение системы (4.2.8) в виде ряда

(4.2.9)

Подставляя (4.2.9) в (4.2.8) и приравнивая коэффи­циенты при одинаковых степенях параметра ε, полу­чим систему уравнений для определения векторов Y_i

. (4.2.10)

В этих уравнениях D₁=(∂F/∂ε)₀, как указывалось, известная вектор-функция времени. Вектор-функция D₂ содержит квадратичные члены разложения функ­ции B(Y,ε,t) по Y и ε, то есть в нее войдут только функ­ции Y₁ и не входят функции Y_i для i > 1.

Таким образом, если последовательно решать ура­внения (4.2.10), то функции D_k будут определяться только функциями Y_i, для которых i<k. Заметим, что функции Y_i удовлетворяют нулевым начальным условиям - Y_i(0)=0.

Следовательно, поставленная задача сводится к последовательному решению задач Коши для системы (4.2.10). Об этой задаче говорилось в главе 3, и был дан метод ее решения для линейных уравнений типа (4.2.10) (метод вариации постоянных). Напомним, что для вычислений по этому методу необходимо знать фундаментальную систему решений однородного уравнения D_k=0. Причем, как говорилось, общих рецеп­тов интегрирования уравнений с переменными коэф­фициентами нет.

В рассматриваемой в этом разделе задаче из зна­ния порождающего решения Z=F(t, С), где С=(c_1,…,с_n) - вектор произвольных постоянных, можно найти фундаментальную систему решений. В самом деле, F(t,С) удовлетворяет уравнению (4.2.5):

(4.2.11)

при любом значении С. Обозначим через ξ_i вектор

(4.2.12)

Вычислим

Используя тождество (4.2.11) и правило вычисления производной сложной функции, получим

Здесь ∂f/∂F={∂f_i/∂F_j} - квадратная матрица раз­мерности п×п; f_i и F_j - компоненты вектор-функций f и F соответственно. Так как ∂f_i/∂F_j =∂f_i/∂z_j =(∂f_i/∂x_j)₀, то df/dF=A, и, следовательно, вектор-функции, определяемые формулой (4.2.12), удовлетво­ряют системе дифференциальных уравнений dξ_i/dt=Aξ_i для любых i, то есть являются фундаментальной системой решений.

Теперь сформулируем упомянутую вначале теоре­му Пуанкаре.

Теорема Пуанкаре.

1. Если общий интеграл порождающего уравнения (4.2.5) известен, то решение системы уравнений (4.2.10) может быть найдено при помощи операций дифференцирования и взятия квадратур.

2. Решение системы уравнений (4.2.1) - аналити­ческая функция параметра ε, то есть ряд (4.2.3) сходится при достаточно малых по абсолютной величине значе­ниях ε и, следовательно, представляет собой решение уравнения (4.2.1), разложенное по степеням ε.

Часто изложенную выше схему поиска решения на­зывают асимптотической.

4.2.1. Метод Крылова - Боголюбова. Весьма часто на практике встречаются САУ, входными (уп­равляющими) сигналами в которых являются гармо­нические колебания, а сами системы близки к ли­нейным. Для иллюстрации метода Крылова - Бого­любова рассмотрим классический пример колеба­тельной системы, определяемой дифференциальным уравнением вида

(4.2.13)

где ε - малый параметр. При ε=0, очевидно, реше­нием уравнения (4.2.13) будет

x = acosψ, (4.2.14)

где ψ=ωt+θ. Величина амплитуды а и фазы коле­бания θ будут определяться начальными условиями и будут оставаться постоянными во времени, то есть

(4.2.15)

Будем искать общее решение уравнения (4.2.13) при ε = 0 в виде ряда по ε:

(4.2.16)

где U₁(a,ψ), U₂(a,ψ), ... являются периодическими функциями угла ψ с периодом 2π/ω, а величины а и ψ как функции времени определяются дифференциаль­ными уравнениями:

(4.2.17)

Ниже будет показана процедура получения пер­вого, второго и так далее порядка приближения. Необхо­димо отметить, что практическая применимость ме­тода определяется не свойствами сходимости сумм (4.2.16), (4.2.17) при m→∞, а асимптотическими свой­ствами для данного фиксированного т при ε→0. Тре­буется лишь, чтобы при малых ε приближение, давае­мое рядом (4.2.16), хорошо работало для достаточно длительных интервалов времени.

Опуская довольно длинные, но весьма простые вы­кладки, которые при желании можно посмотреть в литературе, приведем лишь конечные результаты:

(4.2.18)

где для сокращения записи введены обозначения:

(4.2.19)

Из формул (4.2.19) видно, что f_k(а,ψ) - периодиче­ская функция от ψ (период 2π), зависящая от а; ее явное выражение будет определено, как только будут найдены выражения для A_i(a), B_i(a), U_i(a, ψ) до k-го номера включительно.

Для определения А₁(а), B₁(a), U₁(a,ψ) из пер­вого уравнения системы (4.2.18) рассмотрим разложе­ние Фурье функций f_о(а, ψ) и U₁(a, ψ):

(4.2.20)

Подставляя эти разложения в первое уравнение системы (4.2.18) и приравнивания коэффициенты при одинаковых гармониках, получим:

(4.2.21)

(4.2.22)

Таким образом, однозначно определены А₁(а) и В₁(а), а также все коэффициенты разложения ряда Фурье функции U₁(a,ψ), кроме первых v₁(a) и W₁(a). Этот результат неслучаен и обусловлен тем, что рассматриваемый метод нахождения приближен­ных решений содержит некоторую произвольность.

Для однозначности определения коэффициентов необходимо наложить на них дополнительные условия. Обычно в качестве этих условий принимают отсутст­вие первой гармоники в выражениях U₁(a,ψ), U₂(а, ψ),..., что означает в нашем случае равенство нулю v₁(a) и W₁(a). С физической точки зрения принятие вышеупомянутого дополнительного условия соответст­вует выбору в качестве величины а полной ампли­туды первой основной гармоники колебаний. Оконча­тельно имеем:

(4.2.23)

, (4.2.24а)

(4.2.24б)

Таким образом, используя формулы (4.2.19), мы получим явное выражение для f₁(a,φ), а затем, раз­ложив его в ряд Фурье и использовав второе уравне­ние из (4.2.18), получим совершенно аналогично выражения для А₂(а), В₂(а), U₂(a,ψ). Изложенная процедура, как нетрудно видеть, позволяет определить А_k(a), B_k(a), Uk(a,ψ) для сколь угодно большого индекса k.

4.2.2. Методы линеаризации. В главе 2 были про­демонстрированы методы замены нелинейных харак­теристик приближенной линейной зависимостью. Од­нако к типовым нелинейным элементам, описанным в главе 2, этот метод - разложения в ряд Тейлора - неприменим, так как даже качественная, не говоря о количественных соотношениях, картина после линеа­ризации не соответствует природе явления.

Остановимся на методе линеаризации, основанном на идеях, изложенных в п. 4.2.1. Ограничимся первым приближением метода Крылова - Боголюбова, так как практика показывает, что в большинстве случаев уравнения 1-го порядка дают те же качественные ре­зультаты, что и уравнения высших приближений.

Рассмотрим, например, уравнение колебательной системы

Его решение в первом приближении, как говорилось, может быть представлено в виде

x = a cos ψ, (*)

причем амплитуда а и полная фаза ψ должны удо­влетворять уравнениям:

(4.2.25)

где

Напомним, что первое приближение является ос­новной гармоникой приближенного решения (4.2.16), удовлетворяющего исходному уравнению с точностью до величин порядка малости ε^т, а амплитуда а яв­ляется согласно принятым выше допущениям полной амплитудой основной гармоники. Исходя из этого, вве­дем в рассмотрение функции амплитуды k_l(а) и λ_l(а), определяемые следующими соотношениями:

(4.2.26)

Используя эти функции, перепишем уравнения первого приближения (4.2.25) в виде

(4.2.27)

Продифференцируем теперь выражение (*) для пер­вого приближения. Учитывая (4.2.27), имеем:

(4.2.28)

Продифференцировав (4.2.28) еще раз, получим

(4.2.29)

Учитывая формулы (4.2.26), с точностью до ε² пере­пишем (4.2.29) в виде

(4.2.30)

Таким образом, сравнивая исходное уравнение

с уравнением (4.2.30), видим, что это уравнение полу­чается путем замены нелинейного члена εf (х, dx/dt) линейным - [k₁(a) x+λ_l(a) dx/dt], где k₁(a)=k_l(a)--k.

Изложенный выше метод часто называют методом эквивалентной линеаризации нелинейных систем.

Остановимся еще на одном методе линеаризации, используемом в случаях, когда на вход нелинейного элемента подается гармонический сигнал с постоянной амплитудой вида

х (t) = A sin ωt = A sin ψ. (4.2.31)

Для типовых нелинейных элементов, рассмотренных нами ранее, выходной сигнал будет периодической функцией (см., например, рис. 2.9), но уже не будет гармоническим. Периодический выходной сигнал, как любая периодическая функция, может быть представ­лен рядом Фурье, из которого видно, что, в отличие от линейных систем, нелиней­ные реагируют на гармоническое колебание одной оп­ределенной частоты бесконечным набором гармониче­ских колебаний кратных частот.

Обычно нелинейные САУ имеют структурную схе­му типа рис. 2.25, причем линейная часть, как пра­вило, обладает свойствами фильтра низких частот и подавляет высокочастотные колебания. Вследствие этого пренебрегают всеми гармониками выше первой на выходе нелинейного звена, то есть выходной сигнал y = F(x) приближенно считают равным

(4.2.32)

где

(4.2.33)

Так как согласно (4.2.31)

то равенство (4.2.32) может быть переписано в виде

(4.2.34)

где

(4.2.35)

Приближенное представление нелинейной зависи­мости у=F(х) при синусоидальном входном сигнале линейной зависимостью (4.2.34) называется гармони­ческой линеаризацией, а метод исследования нелиней­ных САУ, основанный на этом приеме, - методом гармонической линеаризации.

Отметим одну существенную особенность метода гармонической линеаризации. Хотя коэффициенты q и q' постоянны при заданных значениях А₀ и ω, но в пе­реходных колебательных процессах с изменением А₀ и ω они будут меняться, что и позволяет, применяя линейные методы исследования к (4.2.34), учитывать основные нелинейные свойства.

По аналогии с линейными системами, используя выражение (4.2.34), можно ввести Ф(А,ω) - комп­лексный гармонический коэффициент усиления, или амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена для первой гармоники. Будем считать, что

, (4.2.36)

тогда согласно (4.2.34) имеем

(4.2.37)

то есть

(4.2.38)

О свойствах q' см. задачу 4 к данной главе.

Определим в качестве примера амплитудно-фазо­вую характеристику нелинейного элемента, изобра­женного на рис. 2.7, г. Когда амплитуда входного сигнала А больше а, на выходе элемента появляет­ся периодическая последовательность импульсов (рис. 2.9,б). Согласно (4.2.33) и (4.2.35) имеем

(4.2.39)

где ψ₀ = arcsin a/А, откуда

(4.2.40)

где ξ=Аsinψ. Таким образом,

(4.2.41)

Амплитудно-фазовые характеристики различных нели­нейных элементов приведены в задаче 5 к данной главе.