4.1. Метод фазовой плоскости

Рассмотрим нелинейные САУ, процессы управле­ния в которых подчиняются уравнению вида

. (4.1.1)

Уравнения этого типа «перекочевали» в теорию авто­матического управления из теории колебаний. Обо­значая

, (4.1.2)

приведем уравнение (4.1.1) к системе уравнений

(4.1.3)

или, в более общем виде,

(4.1.4)

где Р(х, у) и Q(x, у) - некие функции, обладающие непрерывными частными производными вплоть до вто­рого порядка включительно.

Для построения фазовых траекторий необходимо найти решение x=x(t), y = y(t) системы уравнений (4.1.4), представляющее собой уравнение фазовой траектории в параметрической форме, либо найти ха­рактеристики, то есть интегральные кривые уравнения

(4.1.5)

дающие непосредственно зависимость между х и у. Заметим, что если у > 0, то x(t) - возрастающая функция, и, следовательно, изображающая точка движется по фазовой плоскости слева направо. При у<0 будем иметь противоположное движение - справа налево. Из вышесказанного следует, что при у=0 фазовые траектории пересекают ось под пря­мым углом, то есть х должно двигаться или строго вверх, или строго вниз, или не изменяться.

Проиллюстрируем этот метод на примере уравне­ния линейного вибратора (например, маятник, качаю­щийся в воздухе, в предположении малости ампли­туды колебаний и пропорциональности силы трения скорости):

Полагая, как и ранее, y= dx/dt, приводим наше ура­внение к виду

Используя математический аппарат, изложенный в гл. 3, получим, в предположении, что трение невелико, то есть h² < k, k > 0),

(4.1.6.)

где v=arctgh/ω₁, а и α - про­извольные постоянные, определяющиеся начальными значениями.

Выражения (4.1.6) представляют собой уравнения фазовой траектории в параметрической форме. Про­анализируем с их помощью характер движения фазо­вой точки на фазовой плоскости. Допустим сначала, что h=0, то есть трение отсутствует. Тогда

(4.1.7)

Исключая из выражений (4.1.7) время t, получим уравнение семейства эллипсов в виде (рис. 4.1)

Через начало координат не проходит ни одной ин­тегральной кривой. Такая особая точка, вблизи кото­рой интегральные кривые замкнуты и охватывают особую точку, называется центром. Особой точке х=у=0 соответствует состояние равновесия в дан­ной системе.

Пусть теперь h > 0, что соответствует затухаю­щему колебательному процессу. В этом случае согласно рис. 4.1, а на фазовой плоскости получим се­мейство спиралей, для которых начало координат - асимптотическая точка (рис. 4.1,б). При h < 0 вновь получается семейство спиралей (см. рис. 4.1,в), только в этом случае фазовая точка с течением вре­мени удаляется от начала координат. В этих случаях начало координат будет называться устойчивым фоку­сом или неустойчивым фокусом соответственно. Ана­логичным образом можно рассмотреть и другие слу­чаи отношения h и k, что рекомендуется сделать чита­телю.

Рисунок 4.1

Перейдем к исследованию общего случая изобра­жения траектории на фазовой плоскости вблизи точек равновесия системы (4.1.4), в которых

Р(х,у)=0, Q(x,y)=0. (4.1.8)

Разложим функции Р(х, у) и Q(x, у) в окрестности точки равновесия х₀, y₀ в ряд Тейлора, пренебрегая членами высшего порядка по отношению к малым от­клонениям от точки равновесия. Без ограничения общности можно считать, что особая точка является началом координат, то есть х₀=у₀=0; тогда получим

(4.1.9)

где для упрощения записи отклонения от точки равно­весия δх и δу заменены через х и у и введены обозна­чения:

Система уравнений (4.1.9) называется уравнениями в вариациях около точки равновесия.

Решение системы уравнений (4.1.9), как следует из главы 3, находят следующим образом. Решают пре­жде всего характеристическое уравнение

(4.1.10)

Каждому некратному корню λ_j (j=1, 2) данного уравнения соответствует система частных решений

(4.1.11)

где коэффициенты и определяются из следу­ющей системы линейных однородных уравнений:

(4.1.12)

Так как определитель системы (4.1.12) равен нулю (см. (4.1.10)), то эта система линейно зависима; по­этому из нее может быть определено только отноше­ние . Обозначив находим

(4.1.13)

Общее решение системы (4.1.9) будет

(4.1.14)

где (4.1.15)

В проведенных выше рассуждениях мы считали, что корни характеристического уравнения (4.1.10) не равны нулю, то есть ad-bc≠0. Анализируя правые ча­сти выражения (4.1.15), нетрудно установить, при каких соотношениях между коэффициентами а, b, с, d правые части (4.1.14) стремятся к нулю при t > ∞ и, следовательно, точка равновесия будет устойчивой.

Рисунок 4.2

Для того чтобы точка равновесия уравнения (4.1.8) была устойчивой, необходимо, чтобы Reλ₁ и Reλ₂ были меньше нуля, что приводит к следующим условиям:

1. b + с<0, (b - c)² + 4ad ≤ 0.

2. b + с<0, (b - c)² + 4ad > 0, ad - bc<0. Если ad-be >0, то особая точка будет неустойчи­вой. При b+с=0, (b-c)²+4ad<0 решение (4.1.14) ограничено (чисто мнимые корни). В случае b+с>0 точка равновесия всегда неустойчива. Урав­нения характеристик в параметрической форме даны выражениями (4.1.14), согласно которым не составляет труда построить интегральные кривые и проана­лизировать их характер в зависимости от соотношения между коэффициентами.

Рассмотрим различные случаи.

1. Пусть (b-с)²+4ad<0; в этом случае λ₁ и λ₂ - комплексно-сопряженные величины, и процессы в нелинейных САУ носят колебательный харак­тер. Если b+с≠0 (ср. с (4.1.7)), то в окрестности точки рав­новесия характеристиками является семей­ство подобных эллип­сов, изображенных на рис. 4.1, а. Такая точка называется особой точ­кой типа «центр». Если b+с≠0, то харак­теристики представля­ют собой семейство спиралей, для которых асимптотической яв­ляется начало коорди­нат (рис.4.1,б,в). Та­кая особая точка называется точкой типа «фокус». При b + с < 0 фокус устойчив (рис. 4.1, б), а при b + с > 0 неустойчив (рис. 4.1, в).

Рисунок 4.3

2. Пусть (b - c)² + 4ad>0. Тогда, исключая вре­мя из выражений (4.1.14), получим уравнение харак­теристик в окрестности точки равновесия на фазовой плоскости в виде

(4.1.16)

где c₀ - некоторая постоянная.

В зависимости от знака отношения λ₂/λ₁ (4.1.16) описывает:

а) λ₂/λ₁ > 0 - семейство деформированных пара­бол (рис. 4.2);

б) λ₂/λ₁ < 0 - семейство гипербол (рис. 4.3).

Оче­видно, что случаю (а) соответствует ad - bс < 0, а случаю (б) ad – bс < 0. Точка равновесия, соответствующая случаю (а), называется точкой типа «узел». При b + с < 0 узел устойчив (рис. 4.2, а), а при b + с > 0 узел неустойчив (рис. 4.2,б). Точка равнове­сия, соответствующая случаю (б), то есть когда (4.1.14) представляет собой семейство гипербол (рис. 4.3), на­зывается точкой типа «седло».

3. В заключение разберем случай, когда (b-c)²+4ad=0 и, следовательно, λ₁= λ₂=¹/₂(b+ с).

Если а=d=0, b=с=λ, то согласно (4.1.9) по­лучим dy/dx=y/x, откуда следует уравнение харак­теристик у=kx. Это семейство прямых, проходящих через начало координат. Точка равновесия х=у=0 в этом случае также называется узлом (рис. 4.4, а).

Рисунок 4.4

В общем же случае а≠0, d≠0 получим семей­ство кривых, изображенное на рис. 4.4, б и также имеющее точку равновесия типа «узел». В табл. 4.1 дается итог изложенных выше результатов.

Таблица 4.1 - Типы точек равновесия

1	(b-c)2+4ad<0	b+c≠0, фокус b+c=0, центр	b+c<0, устойчивый фокус b+c>0, неустойчивый фокус
2	(b-c)2+4ad=0	узел	b+c<0, устойчивый узел b+c>0, неустойчивый узел
3	(b-c)2+4ad>0	ad – bc <0, узел ad – bc >0, cедло	b+c<0, устойчивый узел b+c>0, неустойчивый узел

4.1.1. Исследование релейной системы на фазовой плоскости. В качестве иллюстрации проведем построе­ние фазовых траекторий для релейного элемента с зо­ной нечувствительности, статическая характеристика которого изображена на рис. 2.7, г. Допустим, что этот элемент соединен последовательно с линейным звеном, описываемым уравнением

(4.1.17)

где y_вых - выходной сигнал с НЭ, θ - выходной сиг­нал с линейного звена. Зависимость y_вых от входного сигнала х дается соотношениями (2.2.8).

Для анализа этой нелинейной САУ разобьем ха­рактеристику элемента на участки I, II, III (см. рис. 2.7, г) и запишем дифференциальные уравнения связи входа и выхода САУ для каждого из участков. Имеем:

для участка I

для участка II

(4.1.18)

для участка III

Обозначим

и

тогда система (4.1.18) запишется в виде

(4.1.19)

а исключив время t из соотношения dt=dx/y получим

(4.1.20)

Проинтегрировав уравнения, входящие в систему (4.1.20), находим:

для участка I

для участка II

(4.1.21)

для участка III

где c₁, c₂, с₃ - произвольные постоянные, определяе­мые начальными условиями. Фазовые траектории, по­строенные по формулам (4.1.21), показаны на рис. 4.5. Линии СС' и DD' называют линиями переключения. При построении фазовых траекторий следует руко­водствоваться следующими правилами, справедли­вость которых вытекает из положений подглавы 4.1.

Рисунок 4.5

1. При у > 0 изображающая точка движется сле­ва направо, а при у < 0 наоборот, справа налево.

2. При у=0, то есть при нулевой скорости измене­ния, фазовые траектории пересекают ось у=0 под прямым углом.

3. Фазовые траектории не пересекаются между со­бой ни в одной точке, за исключением особых точек.