3.3. Дискретные линейные сау

В подглаве 3.1 была дана модель линейной дискретной САУ, а более общая модель была приведена в гла­ве 1. В главе 2 были даны примеры подобных САУ. Математический аппарат, применяемый при исследо­вании таких систем автоматического управления, ос­новывается на теории исчисления конечных разностей. Эта теория имеет большое значение также для при­ближенных вычислений, в том числе для численного интегрирования и приближенного решения диффе­ренциальных уравнений. Уравнения, описывающие дискретные САУ, называются уравнениями в конеч­ных разностях, или разностными уравнениями.

Введем некоторые необходимые для дальнейшего понятия. Пусть функция (вектор-функция) X=f(t) задана в точках t_k=t₀ + kτ, где τ - постоянная вели­чина, называемая часто шагом (периодом) повторе­ния, k - целое число. Тогда

(3.3.1)

- (конечные) разности 1-го порядка, а

(3.3.2)

- разности 2-го порядка. Соответственно разности n-го порядка:

(3.3.3)

Наряду с разностями вперед (прямые разности) ΔХ_k употребляются разности назад (обратные разно­сти):

(3.3.4)

Для дискретных функций разности n-го порядка яв­ляются аналогами n-й производной непрерывной функции. Аналогом интеграла для дискретной функ­ции является сумма вида

(3.3.5)

Аналогом уравнения (3.1.7) будет уравнение вида

(3.3.6)

или

(3.3.7)

Коэффициенты а_i и (i=1,2,...,п), а также b_j и (j=0,1,2,...,т) могут быть выражены друг че­рез друга (попробуйте это проделать) и, следователь­но, являются эквивалентными.

Эти уравнения сходны с дифференциальными урав­нениями, рассматривавшимися в этой главе, но ана­лиз их проще. Рассмотрим, например, общую линей­ную модель вида (3.1.2) с не зависящими (для простоты) от времени матрицами параметров, то есть

X_k+l=AX_k+BU_k (k = 0,1,2,...), (3.3.8) Х(0)=Х₀. (3.3.9)

Используя соотношения (3.3.8) и (3.3.9), можно по­следовательно (рекуррентно) рассчитать фазовое со­стояние объекта управления в любой момент времени (управления U_k считаются заданной дискретной функ­цией):

(3.3.10)

где - k-я степень матрицы А.

Таким образом, расчет фазовой траектории (дис­кретной) сводится к простому перемножению матриц. Математические трудности будут встречаться только при исследовании асимптотического поведения при больших k.

Заметим, что вычислительная процедура (3.3.10) дает решение задачи Коши (3.3.8), (3.3.9) для дис­кретного случая. Ясно, что это решение всегда сущест­вует и единственно.

Вообще теория обыкновенных разностных уравне­ний во многом подобна теории обыкновенных диффе­ренциальных уравнений. В частности, для линейных разностных уравнений с небольшими модификациями справедливы все утверждения, сделанные ранее. Так, разностное уравнение (3.3.6) при u(t)=0 (t - дис­кретная величина) допускает не более п линейно независимых на множестве k=0,1,2, ... решений x_1k, x_2k, . . . , x_nk, что является аналогом утверждения о ре­шениях однородного обыкновенного дифференциаль­ного уравнения.

Линейная независимость таких решений равно­сильна требованию, чтобы определитель Казоратти

(3.3.11)

не был тождественно равен нулю при k=0,1,2,... Этот определитель аналогичен определителю Врон­ского в подглаве 3.1.

Если известны п линейно независимых решений однородного разностного уравнения, то общее решение имеет вид

x_k = c₁x_1k + с₂x_2k+ ...+c_nx_nk, (3.3.12)

где с₁, c₂, ..., c_k - произвольные постоянные.

Общее решение линейного неоднородного уравне­ния представляется в виде суммы частного его реше­ния и общего решения однородного уравнения. Для отыскания частного решения неоднородного линей­ного разностного уравнения при известности общего решения однородного уравнения применим метод ва­риации постоянных, рассмотренный в подглаве 3.1, с соответствующими переобозначениями. Так, для уравнения вида

x_k+n+a₁(k)x_k+n-1+…+a_n(k)x_k=f(k) (3.3.13)

частное решение можно представить в виде

(3.3.14)

где первые разности - неизвестные дискретные функ­ции с_l=c_l(k)=c_l,k удовлетворяют системе линейных уравнений:

(3.3.15)

После решения этой системы относительно Δс_l(k) на­ходим каждое c_l(k) путем суммирования. Если обо­значить Δс_l(k)=α_l,k, то

(3.3.16)

Перейдем к рассмотрению линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. В этом случае, как и для линейных дифференциальных урав­нений, можно непосредственно найти нужное число линейно независимых решений. Итак, пусть дано од­нородное разностное линейное уравнение с постоян­ными коэффициентами:

(3.3.17)

Будем искать решение в виде

(3.3.18)

где число λ надо определить. Подставляя (3.3.18) в уравнение (3.3.17), получим

(3.3.19) или, так как λ^t≠0,

(3.3.20)

Уравнение (3.3.20) называется характеристическим уравнением для конечно-разностного линейного урав­нения. Таким образом, задача отыскания фундамен­тальной системы решений уравнения (3.3.17) вновь сведена к отысканию корней алгебраического уравне­ния. Корни уравнения (3.3.20) могут быть как одно­кратные (простые), так и многократные.

Пусть корни уравнения (3.3.20) - все простые. В этом случае где λ_i, (i=1,2,...,k) - корни характеристического уравнения, яв­ляются k линейно независимыми решениями рассма­триваемого уравнения. В самом деле, определитель Казоратти

(3.3.21)

Не нарушая общности, можно считать каждое из чи­сел λ_i - отличным от нуля, или, что та же самое, - от­личным от нуля произведение (-1)^kλ₁λ₂ ...λ_k, равное по известной теореме Безу а_k. Если бы а_k=0 (но а_k-1≠0), то уравнение (3.3.17) имело бы вид

(3.3.22)

и, следовательно, имело бы порядок k-1, так как, не нарушая общности, можно заменить t на t - 1 и пе­рейти к уравнению

(3.3.23)

Следовательно, вопрос линейной независимости ре­шений уравнения (3.3.17) сводится к исследованию величины определителя

(3.3.24)

Это «именной» определитель, называемый определите­лем Вандермонда, и, как известно, он равен произве­дению

(3.3.25)

где 1 ≤ j < i ≤ k. Так как по сделанному ранее пред­положению все λ_i различны между собой, то опреде­литель (3.3.24) не обращается в нуль. Поэтому общее решение уравнения (3.3.17):

(3.3.26)

где c_i - произвольные постоянные. В общем случае c_i - комплексные числа.

Если среди корней λ_i есть комплексные, то так как комплексные корни всегда встречаются в сопря­женных парах, то есть λ и , можно преобразовать (3.3.26) к действительному виду. Для этого рассмотрим сумму , где λ_p= или

Считая, что с_р = , рассматриваемая сумма легко преобразуется к виду

где - действительные числа. Если среди корней характеристического уравнения встречаются кратные корни, например, корень λ₁, имеющий кратность s, тогда этому корню соответствуют s линейно независи­мых решений вида

(3.3.27)

То, что выражение (3.3.27) является решением уравнения (3.3.17), можно убедиться непосредственно проверкой. Вопрос же о линейной независимости решений, после ряда алгебраических преобразований, вновь сводится к рассмотрению определителя Вандермонда.

Системы с цифровыми вычислительными маши­нами. Включение ЦВМ в систему автоматического управления позволяет реализовать весьма сложные процессы управления, например доменными печами, автоматическими поточными линиями и так далее, но одно­временно требует рассмотрения целого ряда вопросов, связанных с конструкцией и свойствами

самой ЦВМ, вспомогательных устройств, с изучением влияния им­пульсного характера работы ЦВМ на динамические свойства САУ и тому подобное.

Мы не будем рассматривать реальные системы ав­томатического управления с ЦВМ, которые характе­ризуются большим количеством задающих воздей­ствий, управляемых величин и сложными алгорит­мами управления, а ограничимся случаем, когда ЦВМ вводится в одиночный контур управления (регулиро­вания) - с одной управляемой величиной у и одним внешним воздействием g, как это изображено на рис. 3.1. Во многих случаях реальные задачи для си­стем с ЦВМ могут быть сведены к рассмотрению та­ких одиночных контуров.

Рисунок 3.1

С точки зрения теории автоматического управле­ния процесс работы ЦВМ заключается в том, что воз­ложенные на нее функции она производит в дискрет­ные моменты времени (t=0, Т,2T,...,пТ,...), где T - период повторения решения. Однако, в отличие от ранее рассмотренных нами систем, на выходе ЦВМ со­храняется полученное решение до появления следую­щего, то есть на выходе ЦВМ непрерывная функция f (t) заменяется не решетчатой функцией, как ранее, а ступенчатообразной функцией f(nT), как это показано на рис. 3.2. Процесс превращения непрерывной функции в ступенчатую приводит к тому, что рассматриваемые системы управления становятся импульсными. Циф­ровое же представление непрерывной величины в ЦВМ приводит к появлению нелинейности в системе. В последующем изложе­нии будет предполагать­ся, что этой нелиней­ностью можно пренебречь и можно считать САУ с ЦВМ линейной.

Упрощение процесса работы САУ, изображен­ной на рис.3.1, можно описать следующим обра­зом. Входной сигнал, по­ступающий на ЦВМ, преобразуется в прямоуголь­ный импульс длительностью T, который может быть записан в виде

x(t)=u(t)-u(t-T), (3.3.28)

а его лапласово изображение на выходе ЦВМ равно

(3.3.29)

где z=е^рТ. Считаем для простоты, что амплитуда импульса - единица. Если обозначить, как обычно, через W(p) передаточную функцию непрерывной ча­сти, то передаточная функция разомкнутой системы рис. 3.1 может быть представлена в виде

(3.3.30)

Рисунок 3.2.

а соответствующая ей дискретная передаточная функ­ция - записана как

(3.3.31)

Формула (3.3.31) представляет собой символическую запись. Хотя и существуют формулы, позволяющие по известному лапласову изображению находить z-изображение, они редко употребляются на практике. Обычно проще осуществить переход от лапласова изо­бражения к оригиналу, а затем, поставив ему в соот­ветствие решетчатую функцию, найти ее z-преобразование. Используя связь между передаточной и переходной функциями (см. (3.2.9)) h(t) = W(p)/p, где знаком = обозначено соответствие оригинала функции ее изображению, формулу (3.3.31) можно представить в виде

где F(z)=h(t). Таким образом, нами найдена дис­кретная передаточная функция разомкнутой системы с ЦВМ. По аналогии с (2.6.7) нетрудно показать, что W_замк(z) - передаточная функция замкнутой систе­мы - будет иметь вид

(3.3.32)

Пример 3.3.1. Пусть передаточная функция непрерывной части W(p)=k/p(1+T₀p). Найдем дискретную передаточную функцию замкнутой системы с ЦВМ, имеющей период дискрет­ности Т.

Воспользуемся формулой (3.3.31). Тогда для W(z) будем иметь

где d = e^-T/T°. Из (3.3.32) получим окончательный результат:

.

4. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ

Линейные САУ редко встречаются на практике в «чистом» виде. В основном линейная идеализация ис­пользуется как первое приближение последователь­ного анализа реальной САУ. Основное достоинство этого приближения - достаточно полно разработан­ные, регулярные методы решения дифференциальных уравнений, описывающих САУ в этом приближении. Однако многие явления, присущие реальным систе­мам, это предположение описать не в состоянии. По­этому необходим математический аппарат, позволяю­щий учитывать различные нелинейные процессы, на­блюдаемые в реальных САУ.

К нелинейным системам неприменим принцип су­перпозиции (см. подглаву 3.1), дающий возможность опреде­лить движение линейной системы при действии не­скольких внешних управлений (возмущений) как сум­му движений в результате каждого воздействия. Как правило, нелинейные дифференциальные уравнения (системы нелинейных дифференциальных уравнений) возможно решить только численными методами, ко­нечно, если задача специально не конструировалась для учебных целей.

Одной из трудностей, с которой сталкиваются при реализации численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, являются большие за­траты машинного времени. (О ручном счете для реальных САУ современной техники и говорить нечего.) Причин этому много. Часть из них, например, большая размерность задачи, лишь усугубляет трудности, свя­занные с линейностью, другие же просто вытекают из нелинейности системы. К таким причинам отно­сятся:

- сложность математического описания САУ, по­рождаемая сложностью нелинейных зависимостей в системе;

- малый шаг интегрирования из-за возможности возникновения колебательных процессов;

- возникновение областей недифференцируемости фазовых переменных и точек разрыва;

и так далее.

Все это приводит к поиску методов качественного исследования нелинейных дифференциальных уравне­ний, позволяющих сузить круг выбора управлений для более подробных расчетов.