2.7. Вопросы идентификации моделей объектов управления

Для построения математической модели конкрет­ного объекта (системы) используют методы иденти­фикации. Задача идентификации в общем виде фор­мулируется так: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными объекта (си­стемы) необходимо построить его модель, то есть фор­мализованное описание объекта (системы).

В зависимости от характера информации, имею­щейся до проведения наблюдения (априорная ин­формация), различают задачи идентификации в уз­ком и широком смысле.

Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров и состояния системы по ре­зультатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функциони­рования объекта. При этом известна структура мо­дели и задан класс моделей, к которому модель дан­ного объекта относится. Таким образом, априорной информации об объекте имеется достаточно много.

Идентификация в широком смысле - это построе­ние модели объекта (системы) в условиях, когда априорной информации об объекте (системе) для решения задачи идентификации в узком смысле не­достаточно. При этом необходимо дополнительно ре­шать ряд специальных задач (по сравнению со слу­чаем идентификации в узком смысле). В частности, необходимо решить следующие задачи: выбрать структуру системы и класс модели (линейная, нели­нейная и др.), определить действующие переменные, степень стационарности и линейности системы, оце­нить влияние выходных переменных на входные, вы­брать наблюдаемые и управляемые переменные и так далее. Решение задачи идентификации в широком смысле является значительно более сложной и трудоемкой проблемой.

Одну из основных задач идентификации - задачу оценивания схематически описывают следующим об­разом. На объект и модель действует один и тот же входной сигнал. Сравнивается искаженный помехой выходной сигнал объекта и выходной сигнал модели. Необходимо определить величину некоторого пара­метра объекта (например, постоянную времени или коэффициент усиления), который не может быть из­мерен непосредственно. Для решения этой задачи подбирают параметры модели, стремясь уменьшить различие выходных сигналов объекта и модели до минимума (рис. 2.26).

В качестве критерия выбора наилучшего, то есть оптимального параметра модели, используется не сама ошибка, а некоторая функция от нее. Такую функцию ошибок называют функцией потерь (функцией риска), а ее значение называют потерями (ри­ском). Функция потерь в общем случае является функционалом от выходных сигналов объекта и мо­дели или от математического ожидания ошибок оце­нок параметров.

Рисунок 2.26

Одним из наиболее часто используемых критериев является функционал ошибки

(2.7.1)

здесь у - выходная величина объекта, у_м - выходная величина модели, а ε - ошибка. Оценивание по этому критерию называется оцениванием по методу

наимень­ших, квадратов. Ошибка, используемая в (2.7.1), мо­жет быть различной (см. рис. 2.26). Часто использует­ся наиболее простая ошибка, то есть

ε = у - у_м= у - М(х), (2.7.2)

где М(х)- выходной сигнал модели, на вход которой подан сигнал х.

Суть идентификации по методу наименьших квад­ратов рассмотрим на следующем простом примере. Пусть результаты измерения зависимости выходной величины у от входной величины х, полученные в про­цессе эксперимента (испытаний), представлены таб­лицей 2.1. Пусть предполагаемая эмпирическая зави­симость между х и у описывается формулой

у = φ(х). (2.7.3)

Разность

φ(х_k) – y_k = v_k (k=l, 2, ... , п) (2.7.4)

Таблица 2.1 - Результаты эксперимента

х1	х2	. . .	хk	. . .	xn
y1	y2	. . .	yk	. . .	yn

называется уклонением, то есть является ошибкой, по­лучаемой от замены реальной зависимости у от х, оп­ределяемой таблицей 2.1, некоторой эмпирической формулой у = φ(х).

Задача идентификации состоит в нахождении та­ких параметров функции φ(х), при которых величины уклонений были бы минимальными. При использова­нии метода наименьших квадратов требуется обеспе­чить, чтобы минимальной оказалась сумма квадратов уклонений:

. (2.7.5)

Графическая интерпретация метода наименьших квадратов дана на рис. 2.27. На координатную сетку («миллиметровку») нанесены точки х_k, y_k (i=1, 2, ..., п), полученные в эксперименте. Нужно подо­брать кривую y=φ(x), которая наилучшим образом ложится на эти точки, то есть чтобы величина Σv² была минимальной. Предположим, что функция φ(х) имеет вид

(2.7.6)

Рисунок 2.27

Решение задачи идентификации по методу наимень­ших квадратов состоит в следующем: надо подобрать коэффициенты а₀, а_1, . . . , а_т полинома (2.7.6) так, чтобы величина для данного т достигала ми­нимума.

Величина является неотрицательной функ­цией переменных а₀, а₁, . . . , а_т и, следовательно, все­гда имеет минимум. Если т>>п, то существует бес­конечное множество полиномов (2.7.6), обеспечивающих Σv²=0. Для m= =n-1 равенство Σv²=0 обеспечивается единственным полиномом. Мы ограни­чимся рассмотрением случая, когда m<n-1. При этом при любых значениях коэффициентов полинома φ(x) величина Σv²≥0. Наша задача так подобрать коэффициенты полинома (2.7.6), чтобы величина Σv² оказалась минимальной.

Следует отметить, что чем меньше т, тем проще эмпирическая формула, однако уменьшение степени полинома (2.7.6) приводит к увеличению минимума Σv².

Рассмотрим вначале случай, когда можно ограни­читься линейным приближением. Пусть результаты измерений представлены таблицей 2.1. В соответствии с (2.7.6)

φ(х) = а₀х + а₁, (2.7.7)

и имеем для уклонений выражения

(2.7.8)

Тогда

(2.7.9)

При линейном приближении задача идентифика­ции сводится к определению экстремума функции двух переменных F(a₀,a₁). При любых a₀, a₁F(a₀,a₁)≥0 и, следовательно, функция F(a₀,a₁) имеет ми­нимум. Методы решения задач такого вида рассмо­трены в главе 8. Для рассматриваемого случая необходимые условия экстремума запишем так:

(2.7.10)

После сокращения на 2 и группировки получим:

(2.7.11)

Уравнения (2.7.11) называют нормальными уравне­ниями.

Рассмотрим пример. Найти уравнения прямой, проходящей возможно ближе к следующим точкам:

x	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5
y	0,58	1,62	2,52	3,70	5,00	6,02

Составляем нормальные уравнения. Для удобства вы­числений составим таблицу 2.2.

Таблица 2.2 - Вспомогательная таблица

	x	y	x2	xy
	1 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5	0,58 1,62 2,52 3,70 5,00 6,02	1,0 2,25 4,0 6,25 9,0 12,25	0,58 2,44 5,04 9,24 15,0 21,08
Σ	13,5	19,44	69,5	53,38

Нормальные уравнения имеют вид

69,5а₀+13,5а₁=53,38, 13,5a₀ + 6а₁ = 19,44. (а)

Решая систему (а), получим а₀ = 2,202, a₁ = 1,716. Таким образом, уравнение прямой имеет вид у = 2,02 - 1,716 х.

Вычислим уклонения для этой прямой:

v₁= - 0,094, v₂= - 0,032, v₃= 0,168,

v₄= 0,088, v₅= 0,110, v₆= - 0,028,

Σv=0,008, Σv²=0,064.

Если линейное приближение не дает хороших резуль­татов, то необходимо повысить степень полинома.