2.5. Типовые динамические звенья линейных сау

В теории автоматического управления вводятся типовые звенья. Эти звенья классифицируют по ви­дам дифференциальных уравнений, описывающих их работу вне зависимости от конструктивного исполне­ния звена, его назначения и так далее. Очевидно, что звенья одного типа имеют одинаковые передаточные функ­ции. В линейных САУ различают следующие типы звеньев:

1. Описывающиеся линейным алгебраическим урав­нением относительно выходного сигнала.

а) Пропорциональное (или безынерционное). Примеры: электронная усилительная лампа; дели­тель напряжения; рычажная передача и др.

б) Запаздывающее. Примеры: длинные электри­ческие линии без потерь; некоторые тепловые объ­екты; длинный трубопровод и др.

в) Дифференцирующее. Примеры: конденсатор, индуктивность и др.

2. Описывающиеся дифференциальными уравнения­ми 1-го порядка с постоянными коэффициентами.

а) Инерционно-дифференцирующее (реальное диф­ференцирующее). Примеры: конденсатор с учетом омического сопротивления; индуктивность с

учетом омического сопротивления и др.

б) Инерционное (апериодическое, релаксацион­ное). Примеры: термопара, если входной сигнал - температура, а выход - эдс.; магнитный усилитель; электродвигатель и др.

в) Интегрирующее (астатическое, нейтральное). Примеры: конденсатор, если считать входным сигна­лом ток, а выходным - напряжение на его пластинах;

Рисунок 2.14

вращающийся вал, если считать входным сигналом скорость вращения, а выходным - угол поворота вала, и др.

г) Интегро-дифференцирующее (упругое). Приме­ры электрических схем, соответствующих этому типу звена, показаны на рис. 2.14, а, б.

3. Описывающиеся дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами. При­мером является резонансный колебательный контур.

2.6. Соединение звеньев и преобразование структурных схем сау

В подглаве 2.2 говорилось, что звено в теории автомати­ческого управления считается направленным, то есть преобразует сигнал в одном направлении. Если ввести дополнительное предположение о независимости пе­редаточных функций отдельных звеньев от их соеди­нения (или определять передаточную функцию звена с учетом соединения), то любая линейная система автоматического управления может быть сведена либо к схеме, показанной на рис. 2.15:

Рисунок 2.15

(2.6.1)

где Y_н.y(p) - управляемые величины и их составляю­щие, зависящие от начальных условий, W_э(p) - эквивалентная передаточная функция. Отметим, что с ма­тематической точки зрения замена соединения звеньев одним звеном с эквивалент­ной передаточной функцией соответствует исключению переменной в системе уравнений, описывающих это соединение.

Различают три вида соединения звеньев: после­довательное, параллельное и параллельное с обрат­ной связью.

Последовательным соединением звеньев называет­ся такое соединение, когда выходная величина пре­дыдущего звена является входной величиной после­дующего звена. Если последовательно соединяются звенья l и т, то y_l=х_т.

Последовательное соединение п звеньев (рис. 2.16) с передаточными функциями W_j(p) (j= 1, 2, ..., n) может быть заменено звеном с эквивалентной

переда­точной функцией

(2.6.2)

Согласно определению последовательного соединения звеньев имеем

^x _i+1= y_j,

но так как

Y_j(p)/X_j(p)=W_j(p),

то, перемножив почленно эти уравнения, получим формулу (2.6.2). Таким образом, при последователь­ном соединении звеньев передаточные функции пере­множаются.

Рисунок 2.16

Параллельным соединением звеньев называется такое соединение, когда на входы всех звеньев по­дается одна и та же величина, а выходные сигналы суммируются. Если параллельно соединены п звеньев (рис. 2.17), то входной сигнал

х = x₁ = . . . = x_j = . . . = х_п, (2.6.3)

а выходной

. (2.6.4)

Рисунок 2.17

Переходя в (2.6.3), (2.6.4) к изображениям и учиты­вая, что

Y_j(p)=W_j(p)X_j(p),

получим

то есть

(2.6.5)

Таким образом, при параллельном соединении звеньев передаточные функции звеньев суммируются.

Параллельное соединение с обратной связью. Звенья W и W_об.св., изображенные на рис. 2.18, носят название звено прямой связи и звено обратной связи, а такая система называется системой с обратной связью.

Рисунок 2.18

Согласно опреде­лению передаточной фун­кции имеем

но, как видно из рис. 2.18, Х₂(р)=X(р) Х₁(р), то есть

Разделив числитель и знаменатель на Х₂(р), получим

(2.6.6)

то есть

(2.6.7)

В теории автоматического управления обычно встречаются отрицательные обратные связи, что свя­зано с обеспечением устойчивости САУ (см. гл. 5). В этом случае входной сигнал прямого звена связи

x₂ = x - x_l. (2.6.8)

Это уравнение называется уравнением замыкания. При условии (2.6.8)

(2.6.9)

Очень часто цепь обратной связи представляет со­бой пропорциональное звено с коэффициентом усиле­ния k=1. Например, в САУ, основанных на управ­лении по рассогласованию, ε= х - у. Для таких систем формула (2.6.9) переходит в

(2.6.10)

определяя передаточную функцию замкнутой си­стемы.

Для САУ при комбинированном включении звеньев следует использовать формулы (2.6.2), (2.6.5) и (2.6.7) совместно.

Пример 2.6.1. Найдем эквивалентную передаточную функ­цию системы, изображенной на рис. 2.19. Заменив параллельно соединенные элементы W₂ и W₇ на элемент W_эa с передаточной функцией W_эа = W₂ + W₇ (см. (2.6.5)), а также участок

замкну­той системы, состоящий из цепи прямой связи с передаточной функцией W_эв= W₃W₄ (см. (2.6.2)) и цепи обратной связи W₈, на W_эв=W₃W₄/(1 + W₃W₄W₈) (см. (2.6.7)), приходим к замкну­той системе с последовательно соединенными элементами W₁, W_эa, W₅, W₆ в цепи прямой связи, которые в свою очередь за­меним элементом W_эг с передаточной функцией

и пропорциональным звеном с k = 1 в цепи обратной связи. Окончательно используя (2.6.10), имеем

.

Рисунок 2.19

При наличии в системе перекрещивающихся свя­зей (нет чисто последовательного или параллельного соединения) применяют следующие правила преобра­зования структурных схем, позволяющие свести си­стему с перекрещивающимися связями к системе, к которой приложимы формулы (2.6.2), (2.6.5) и (2.6.7).

1. Внешнее воздействие f, приложенное к входу начального звена W₁ с передаточной функцией W(p), можно перенести на вход последующего звена W₂, добавив между воздействием f и входом звена W₂ звено с передаточной функцией W₁(p)(рис. 2.20, а).

2. Внешнее воздействие f, приложенное к входу звена W₂ (рис.2.20,б), можно перенести на вход предыдущего последовательно включенного звена

W₁, добавив между воздействием f и входом звена W₁ звено с передаточной функцией 1/W₁(p).

Рисунок 2.20

3. Точку присоединения звена W₃ (рис. 2.20, в) можно перенести с выхода звена W₂ на его вход, до­бавив между входами звеньев W₂ и W₃ звено с пе­редаточной функцией W₂(p).

4. Точку присоединения звена W₃ (рис.2.20,г) можно перенести со входа звена W₂ на его выход, до­бавив между выходом звена W₂ и входом звена W₃ звено с передаточной функцией 1/W₂(p).

Пример. Структурная схема, изображенная на рис.2.21, а, имеет перекрестные связи. Однако если перенести узел Г через звено W_B по направлению действия сигнала, используя пра­вило 4, то придем к структурной схеме, изображенной на рис. 2.20, б.

В этой структурной схеме перекрестные связи отсут­ствуют, и, применяя соотношения (2.6.2), (2.6.7), ее можно све­сти к схеме рис. 2.21,б (см. задачу 7 в конце этой главы).

Рисунок 2.21

В заключение рассмотрим, как производится пре­образование структурных схем нелинейных САУ. Лю­бая нелинейная САУ состоит из набора линейных и нелинейных звеньев. Ограничимся случаем, когда САУ содержит лишь одно нелинейное звено, и рас­смотрим, как преобразовать структурную схему к этому стандартному виду (рис. 2.22).

Рисунок 2.22

Пусть имеется САУ, структурная схема которой показана на рис. 2.23, а. Для того чтобы преобразо­вать ее к схеме, изображенной на рис. 2.22, разомк­нем схему 2.23, а на входе нелинейного звена. Пре­образованная схема будет иметь вид, показанный на рис. 2.23, б, и в соответствии с (2.6.9) и выше­приведенными правилами передаточная функция линейной части

преобразованной системы будет равна

W(р) = [W₁ (p) W₄ (р)+W₃(р)]W₂ (р). (2.6.11)

В том случае, когда нелинейное звено находится в цепи обратной связи САУ, как это показано на рис. 2.24, а, то учитывая, что звенья с передаточными функциями W₁(p), W₂(p) и W₃(p) образуют схему, в цепи обратной связи которой стоят последовательно соединенные элементы W₁(p) и W₃(p), параллельно которым включено звено W₂(p), то приходим к схе­ме, показанной на рис. 2.24, б.

Рисунок 2.23

Рисунок 2.24

Передаточная функция преобразованной линейной части в этом случае с учетом (2.6.9) равна

Нелинейная САУ, изображенная на рис. 2.25, яв­ляется той схемой нелинейной САУ, которая будет исследоваться в дальнейшем. Если нелинейный эле­мент описывается уравнением х₂=F(х₁), то САУ, по­казанная на рис. 2.25, может быть описана следую­щей системой уравнений:

х₁=х_вх - у_вых, х₂=F(x₁), у_вых=W(p)x₂. (2.6.12)

Рисунок 2.25