Вопрос 37

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: где p(x) и h(y) − непрерывные функции. Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными – это уравнения вида

Вопрос 38 Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Пример 1

Решить уравнение  y' − y − xex = 0. Решение. Запишем данное уравнение в стандартной форме:       Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:       Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:       Вопрос 40 Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Вопрос 41 Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранником. Тетраэдр и параллелепипед - примеры многогранников. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер - вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360^o.

рис. 50

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2...Аn и B1B2...Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов, называется призмой.

Многоугольники А₁А₂...А_n и B₁B₂...B_n называются основаниями, а параллелограммы - боковыми гранями призмы. Отрезки А₁B₁, А₂B₂, ... , А_nB_n называются боковыми рёбрами призмы. Боковые рёбра призмы равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями. Призму с основаниями А₁А₂...А_n и B₁B₂...B_n обозначают А₁А₂...А_nB₁B₂...B_n и называют n-угольной призмой.