21)Метод Эйлера для определения величины критической силы при центральном сжатии стойки

Для нахождения критических напряжений   надо вычислить критическую силу  , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня. Собственным весом стержня пренебрегаем.

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами   и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как  .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня.    Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен

 По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными.

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь   через   приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

(Здесь J—минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.) Это — так называемая формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами.

22)Влияние способа закрепления концов стержня на величину критической силы

Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выражение критической силы справедливо лишь для стержня с шарнирно-опертыми концами и изменится при изменении условий закрепления концов стержня.

Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить' к основному случаю.

Критическая сила для стойки длиной  с одним защемленным, а другим свободным концами будет та,же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при длине  :

Критическая сила для стержня с защемленными концами, длиной  , равна критической силе для стержня основного случая длиной  :

Для стержня, с одним защемленным, а другим шарнирно-опертым концами, коэффициент  оказывается примерно равным  , а критическая сила:

Значения критических нагрузок могут быть получены в виде формул типа эйлеровой и для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил.

23) Пределы применимости формулы Эйлера

Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент запаса  . Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

 или 

В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают формулу Эйлера для любого материала.