1)Изгиб.Определение перемещений.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси. Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.При деформации балки каждое сечение, оставаясь плоским, поворачивается по отношению к своему прежнему положению. Угол θ(x) на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения.

Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ(x) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y^/=tgθ. Следовательно, tgθ=tgφ=y^/.

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h, а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ=y^/.

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M_z и жесткости EI_z

.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

.

Приравнивая правые части и учитывая, что правила знаков для M_z и y^// были приняты независимо друг от друга, получаем

.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ=0.1 рад (y^/)²=0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

.

Выбор знака в правой части определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y^//. Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y^// и M_z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y^// и M_z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M_z содержит одну из главных осей инерции сечения.

2)Определение перемещений при изгибе методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки

Интегрируя первый раз, получим:

Разделив на жёсткость сечения , получим уравнение для углов поворота сечений:

,

гдеС первая постоянная интегрирования. Определяем из граничных условий:

Для балки с одной точкой опоры (консоль) угол поворота в точке опоры равен нулю:

 

 

Для балки на двух и более опорах углы поворота в опорах будут принимать максимальные значения. Угол поворота будет равен нулю на границе между участками. Если на эпюре изгибающего момента есть вершина параболы, то можно взять значение х в том месте, где на эпюре изгибающего момента максимум:

 

 

Интегрируя уравнение для углов поворота ещё раз, получим уравнение перемещений (прогибов):

 

,

где D вторая постоянная интегрирования. Определяем из граничных условий:

Для балки с одной точкой опоры перемещение в точке опоры равно нулю:

 

При найденном уже значенииС, можно вычислить D. Для балки с одной точкой опоры максимальное перемещение будет на свободном конце (при х=0) и будет равно:

,где - жесткость сечения при изгибе. Если знак « + », перемещение направлено вверх и совпадает с направлением вверх оси оу. Если знак « - », то перемещение направлено вниз.

Мы научились находить перемещение, если участок один.

Граничные условия выбираются в зависимости от конструкции балки.

Для балки с защемлённым концом (консоль) граничные условия будут следующие:

Перемещения и угол поворота сечения будут равны нулю в точке защемления при значении расстояния х, равном длине консоли.

Для балки на двух опорах значения перемещений в точках опоры, при значениях расстояний х, соответствующих точкам опоры, равняются нулю.

Таким способом вычисляют значение перемещения, если количество участков в конструкции не больше двух. Недостаток в том, что интегрирование каждого участка даёт две постоянные интегрирования.

Если участков два, то неизвестных постоянных интегрирования будет четыре.

К двум граничным условиям (равенства нулю перемещений или углов поворота в определённых точках и при определённом значении длины), указанным выше, нужно добавить ещё два условия: плавности и непрерывности изогнутой линии балки на границе между участками.

Условие плавности – углы поворота сечений на границе участков равны:

;

 

Условие непрерывности изогнутой линии – перемещения на границе участков одинаковы:

Решить систему из четырёх уравнений, где будет четыре неизвестные постоянные интегрирования, можно определить максимальное значение перемещения.