28. Формула Бейеса.

Вероятность гипотез. Формула Бейеса

Пусть событие A может наступить при появлении одного из несовместных событий B1 … Bn, которые образуют полную группу

Вероятность появления события A определяется формулой полной вероятности

Вычислить полную вероятность появления события Bi, при условии, что произошло событие A.

P(A,Bi)=P(A) P(Bi)=P(Bi) P(A/Bi)=P(A) P(Bi/A)

Формула Бейеса позволяет определить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания в итоге которого появляется событие A.

29. Формула Бернулли

Теорема Бернули

Рассмотрим независимое испытание, которое проводится n раз, в которых событие A происходит с вероятностью P.

Каждое независимое испытание – простое событие.

Пусть в n независимых простых испытаниях появляется событие A с вероятностью P. Тогда вероятность не наступления события A = 1 – P.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие A осуществится k раз и не осуществится n – k раз P_n(k).

P₅(3) – вероятность того, что в 5 испытаниях событие A появится 3 раза и не наступит 2 раза.

P_n(k) – вероятность сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит k раз и не наступит n – k раз.

Такая вероятность по теории умножения вероятностей независимых событий определяется по выражению:

P^k*q^(n-k)=P^k(1-P)^(n-k)

P – вероятность появления

q – вероятность не появления

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элемент.

0! = 1

Так как сложные испытания несовместимы, то по теореме сложения вероятностей несовместимых событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий.

Формула определяет вероятность появления события A k раз в n испытаниях (формула Бернули).

30. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Локальная теорема: Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Можно вычислить интересующую вероятность не прибегая к формуле Бернулли. Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема: Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

при

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента x . Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. .

Итак, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

где

31. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в n испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p ( ), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа   ,приближенно равна  

Где:  - функция Лапласа.

Интеграл   не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция   является нечётной 

Данная функция   табулирована.