35. Параметры случайных непрерывных процессов.

Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина.

36. Параметры фиксированных случайных процессов

Совокупность реализаций случайного процесса называется ансамблем реализаций. Совокупность значений реализаций в фиксированный момент времени (выборка случайных значений) называется сечением случайного процесса.

Рисунок:Реализации случайного процесса

В любом сечении случайный процесс есть случайная величина. Математическое ожидание случайного процесса есть функция времени

37. Закон больших чисел. Теорема Чебышева

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.

Теорема Чебышева. Если X1, X2,. . , Х n ,… - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин

достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что

случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

Если X1, X2,. . , Х n ,… - попарно независимые случайные величины,имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число 0 , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин

достаточно велико. Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство