22. Статистические оценки параметров распределения.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистические оценки параметров распределения должны удовлетворять следующим требованиям: состоятельности, несмещённости, эффективности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при неограниченном увеличении числа наблюдений стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Несмещённой называют статистическую оценку, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике независимо от числа наблюдений. Несмещённая статистическая оценка называется эффективной, если она имеет минимально возможную дисперсию.

Генеральная средняя и выборочная средняя

Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:

.

(6.2)

где x_i – варианта генеральной совокупности, n_i – частота варианты x_i,

.

N– все возможные значения частот дискретной случайной величины Х.

В частном случае, когда генеральная совокупность содержит по одному значению каждой варианты, генеральная средняя равна:

.

(6.2а)

Если рассматривать значения Х генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание М(Х) равно генеральной средней М(Х)= x_г, а генеральная средняя определяется как математическое ожидание:

x_г = М(Х).

Пусть извлечена выборка объема n из генеральной совокупности относительно количественного признака X. Выборочной средней`x называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

,

(6.3)

где

.

В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная средняя равна:

.

(6.3а)

Аналогично генеральной совокупности можно сделать вывод относительно выборочной средней. Если рассматривать значения Х выборки, как случайную величину, то математическое ожидание m(Х) равно выборочной средней:

.

(6.4)

Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения x_г. Рассеяние значений количественного признака X в выборке вокруг своего среднего значения`x характеризует выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией D_в называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения  .

.

(6.5)

В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная дисперсия равна:

.

(6.5а)

Пример 4.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения в примере 1.

Таблица 6.6

i	1	2	3	4
xi	2	3	5	10
ni	5	5	3	2

Найти выборочное математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение для распределения, заданного таблицей 6.6.

Решение.

Выборочная средняя вычисляется по формуле (6.4):

Выборочная дисперсия D_в вычисляется по формуле (6.5):

Выборочное среднее квадратическое отклонение:  .

В задачах выборочная совокупность может быть задана таблицей распределения с относительной частотой. Рассмотрим пример 4, заменив в таблице 6.6 последнюю строку относительной частотой p_i=n_i/n. В примере n=15. Выборочная дисперсия D_в вычисляется по данным таблицы 6.7.

Таблица 6.7

i	1	2	3	4
xi	2	3	5	10
pi	P1 =5/15	P2 =5/15	P3 =3/15	P4 =2/15

Выборочная дисперсия D_в может быть вычислена как с использованием относительной частоты, так и абсолютной частоты.

Характеристики случайной величины, построенные на основании выборочных данных, называются выборочными или точечнымиоценками.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные в примере 4, являются точечными.