16. Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M<N). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь не применима).

Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,…, min (M,n).

Используя классическое определение вероятности, получаем, что вероятность того, что среди n отобранных изделий ровно m стандартных будет равна

.

Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:

, где m=0, 1, 2,…, min (M,n).

Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение По условию задачи, N = 50, M = 20, n = 5, m = 3. Искомая вероятность

17. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Закон распределения достаточно полно характеризует случайную величину, однако он не всегда известен, поэтому ограничиваются численными характеристиками случайных величин. К такой характеристике относится математическое ожидание, приблизительно равное среднему значению случайной величины.

Информация о математическом ожидании является полезной для решения многих задач.

Математическим ожиданием дискретной величины называют сумму произведений всех значений случайно величины на их вероятность.

Пусть случайная величина X=x1,x2,…,xi,…,xn, у которых вероятность P=p1,p2,…,pi,…,pn

Рассмотрим пример:

Найти мат. ожидание величины X, зная ее распределение

X(M) = 3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9

18. Дисперсия дискретной случайной величины.

Численная характеристика случайного процесса – дисперсия – значение рассеиваемой случайной величины, отклонение от математического ожидания. Таким образом значение не показывает , а вычисляет дисперсия. Пусть Х – случайная величина, М (х)- её математическое ожидание. Отклонение –разность случайной величины и её математическое ожидание.

Пусть закон распределения Х известен: Х1,Х2,…,Хn; Р Р1,Р2,…,Рn

Отклонение, отношения математического ожидания Хi-М(x)

Вероятность отклонения равна вероятности события.

Х1-М(Х1)	Х2-М(Х2)	…	Хn-М(Хn)
Р1	Р2	…	Pn

Мат. Ожидание отклонения равно 0. М [Х-М(Х)]=0

19. Среднеквадратическое отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты.

Среднеквадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:

Найдем математическое ожидание X:

Напишем закон распределения X²:

Найдем математическое ожидание X²:

Видим, что М(X²) значительно больше М(X). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X², соответствующее значению х = 100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от М (X) к М (Х²) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X², а тем более к величинам X³, X⁴ и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

В частности,

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D(X) = M(X²) - [М (Х)]² можно записать так:

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонениях X - М (X).

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х - М (Х))^k:

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

Моменты более высоких порядков применяются редко.