4. Теорема сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих событий.

Например: из оружия сделано 2 выстрела. А - вероятность попадания в цель при первом выстреле. В - во втором выстреле.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

5. Теорема сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Например: вероятность попадания при стрельбе из А и В оружий равны: Р(а)=0,7

Р(в)=0,8

Как найти вероятность появления одного из событий?

• Р(А,В)=0,7*0,8=0,56

• Р(А+В) = 0,7+0,8-0,56= 0,94

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)- Р(АВ).

6. Теорема сложения вероятностей. Полная группа событий. Противоположные события.

Полная группа событий.

Теорема: Сумма вероятностей А₁, А₂, … , А_m образующие полную группу событий равна 1.

Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_m) = 1.

Теорема: вероятность появления события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий равно

Р(А)= - формула полной вероятности

Противоположные события.

Это два единственно возможных события, образующих полную группу.

Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А) + Р( ) = 1

7. Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A)*P(B).

8. Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Теорема: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго: P(AB)=P(A)•  (B)=P(B)• (A)

9. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. Условная вероятность.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий  , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий  :  .

Частный случай. Если события   имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:  .

10. Следствия теорем сложения и умножения.

Следствие 1: если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2: вероятность произведения не зависимой совокупности событий = произведению вероятностей этих событий, т.е. для независимых событий :

P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n)

11. Повторение испытаний. Теорема Лапласа.

Если произведено несколько испытаний, причем вероятность в каждом испытании события А не зависит от других, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Сложное событие – совмещенные несколько отдельных событий, которые называются простыми. Пусть произведение n независимых испытаний, событие А может появиться или не появиться. Вероятность события А в каждой испытании одна и та же (р). Вероятность не наступления события А в каждом испытании также постоянна (q=1-p). Вычислим вероятность того, что при mиспытаний событие А осуществиться k раз, не осуществиться n-k раз.

Pn(k)

Теорема: вероятность одного сложного события состоит в том, что в n испытаний событие А наступит k раз не наступит n-k раз

Число сочетаний находится следующим образом: