1.1.4. Кинематические характеристики вращательного движения м.Т. И а.Т.Т.

П усть м.т. движется со скоростью по окружности радиуса r вокруг неподвижной оси вращения (рис. 1.7,а). Материальную точку с осью вращения

соединяет перпендикулярный к ней вектор , а вектор его элементарного приращения, вектор , направлен по касательной к окружности.

Введем понятие вектора элементарного углового перемещения :

он равен по модулю углу элементарного поворота dφ, причем dφ>0; направлен вектор по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого буравчика, а именно, направление вращения буравчика должно совпадать с направлением вращения м.т., тогда поступательное движение буравчика определяет направление вектора (рис.1.7,а).

Быстроту вращения м.т. характеризует угловая скорость , равная первой производной от вектора углового перемещения по времени t

. (1.16)

Направления вектора угловой скорости и вектора элементарного углового перемещения совпадают.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения  , равный первой производной от угловой скорости по времени t

. (1.17)

В случае ускоренного вращения направления и совпадают (рис.1.7,б), для замедленного вращения вектора и направлены в противоположные стороны ( ).

Кроме приведенных выше величин, для описания вращательного движения тела используют частоту обращения n, определяемую как число оборотов, совершаемых телом за единицу времени, и период обращения Т как время одного полного оборота. Справедливы следующие формулы взаимосвязи ω, n и Т:

. (1.18)

Введенные характеристики вращательного движения м.т. применимы и для абсолютно твердого тела, так как его можно разбить на малые объемы и тем самым представить в виде совокупности м.т.

Если задать начальные условия (t =t ₀: ) и зависимость углового ускорения от времени t, то тогда для векторов углового перемещения и угловой скорости можно записать

, (1.19)

Для вращения тела с постоянным угловым ускорением формула (1.19) примет следующий вид (t₀ = 0):

, . (1.20)

Для углового пути φ и модуля угловой скорости ω в случаях равноускоренного (знак “+”) и в случае равнозамедленного (знак “-”) вращения из (1.20) получаем (φ₀=0)

, (1.21)

Можно отметить, что формулы (1.21) переходят в формулы (1.13) при следующей замене φ → l, ω → υ, ε → a=a_τ . Этой аналогией можно пользоваться при записи формул для вращательного движения тел.

1.1.5. Формулы взаимосвязи линейных ( ) и угловых ( ) характеристик при вращательном движении

Пользуясь определением векторного произведения двух векторов (см. прил. 1) и рис 1.7,а можно записать

. (1.22)

Выражение (1.22) позволяет получить следующие формулы взаимосвязи линейных и угловых характеристик: 1) для скоростей и

,

, . (1.23)

2) для ускорений и

,

, , (1.24)

, . (1.25)

Направления векторов и показаны на рис 1.7,б (ускоренное вращение м.т. - , ).

Лекция 2

1.2. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ М.Т. И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ А.Т.Т.

Решение кинематических уравнений механического движения тела помимо начальных условий требует информации об ускорении тела. Ее можно получить, рассматривая механическое взаимодействие данного тела с другими телами, приводящее к изменению состояния тела, изменению его скорости, т.е. к возникновению ускорения. Вопросы, связанные с такими взаимодействиями, и рассматриваются в динамике.