4.3. Численное интегрирование

Пусть требуется найти значение I интеграла для некоторой заданной на отрезке [a,b] функции f(x). Хорошо известно, что для функций, допускающих на промежутке [a,b] конечное число точек разрыва первого рода , такое значение существует, единственно и может быть формально получено по определению:

,

где {x_i}, i=0,…,n – произвольная упорядоченная система точек на отрезке [a,b] такая, что max{x_i-x_i-1} при n (x₀=a, x_n=b), _i – произвольная точка элементарного промежутка [x_i-x_i-1].

В математическом анализе обосновывается аналитический способ нахождения значения I с помощью знаменитой формулы Ньютона-Лейбница

I = F(b) – F(a),

где F(x)- некоторая первообразная для заданной функции f(x). Однако для большинства элементарных функций первообразная не существует, в то же время значение интеграла может быть получено с помощью какой-либо специальной приближенной формулы на основе значений подынтегральной функции f(x). Такие специальные приближенные формулы для вычисления определенных интегралов называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования. Первый из этих терминов связывают с геометрическим смыслом определенного интеграла: вычисление I при f(x)0 равносильно построению квадрата, равновеликого криволинейной трапеции с основанием [a,b] и «крышей» в виде кривой f(x).

Общий вид линейной квадратурной формулы – это

где фиксированные узлы x_i называют узлами, а коэффициенты A_i – весовыми коэффициентами (или просто коэффициентами) квадратурной формулы. Другими словами, определенный интеграл приближенно равен среднему взвешенному значений подынтегральной функции, вычисленных в определенных точках промежутка интегрирования. Коэффициенты и узлы квадратурной формулы, а также их количество представляют параметры, которые следует выбирать так, чтобы формула давала возможно лучший результата при интегрировании избранного класса функций f(x).

Получение квадратурных формул основано на замене интегрируемой функции f(x) на более простую функцию (x), близкую к f(x), и принимающую в узлах те же значения. В качестве такой функции берут либо алгебраический многочлен, либо рациональную функцию, либо тригонометрический многочлен и т.д. в зависимости от задачи. Все эти вспомогательные функции являются аналитическими и обладают большой гладкостью изменения. Когда отрезок интегрирования конечный и интегрируемая функция имеет высокую гладкость, то можно рассчитывать хорошо приблизить ее полиномом невысокой степени. Простейшей интерполяцией является замена подынтегральной функции полиномом нулевой степени, т.е. просто константой на всем интервале интегрирования

f(x)  L₀(x) = const.

В этом случае площадь криволинейной трапеции заменяют площадью прямоугольника с основанием в виде длины интервала интегрирования, соответственно эти квадратурные называют формулами прямоугольников. В качестве констант выбирают значение функции – либо на левом конце, либо на правом конце, либо в середине интервала интегрирования:

const = f(a) => I(b-a) f(a) - формула левых прямоугольников,

const = f(b) => I(b-a) f(b) - формула правых прямоугольников,

const = f((a+b)/2) => I(b-a) f((a+b)/2) формула средних прямоугольников.

Если заменить функцию f(x) полиномом первого порядка, построенного по значениям функции на концах интервала:

f(x)  L₁(x) = f(a)(x-b)/(a-b) + f(b)(x-a)/(b-a),

то интегрирование дает формулу трапеций

I  (f(a)+f(b)) (b-a)/2.

При замене функции f(x) полиномом второй степени L₂(x), построенного по значениям функции на концах и в середине интервала, получим формулу парабол, которую обычно называют формулой Симпсона:

Этот процесс построения полиномов все более высоких степеней можно продолжать, получая после интегрирования квадратурные формулы с улучшенными свойствами. Однако чаще для повышения точности расчетов используют приведенные формулы, которые применяют не ко всему интервалу интегрирования, а к его частям. Такие формулы называют обобщенными.