43. Примеры норм матриц

Нормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. , причём только при ;

2. , где ;

3. ;

4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:

для всех .

Пример: Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

45. Степени вершин и обходы графов

Степень вершины (англ. degree, также валентность, англ. valency) в теории графов — количество рёбер графа , инцидентных вершине . При подсчёте степени ребро-петля учитывается дважды.^[1] Степень вершины обозначается как (в западных источниках — ). Максимальная и минимальная степень вершин графа G обозначаются соответственно Δ(G) и δ(G). На рис. 1 максимальная степень равна 5, минимальная — 0. В регулярном графе степени всех вершин одинаковы, поэтому в данном случае можно говорить о степени графа.

Общие свойства

• Если все вершины графа имеют одинаковую степень k, граф называют k-регулярным или регулярным графом степени k. В этом случае сам граф имеет степень k.

• Эйлеров путь существует в неориентированном, связном графе если и только если граф имеет 0 или 2 вершины нечётной степени. Если граф содержит 0 вершин нечётной степени, Эйлеров путь является циклом.

• Орграф является псевдолесом только если полустепень захода каждой вершины не больше 1. Функциональный граф — частный случай псевдолеса, в котором полустепени захода всех вершин равны 1.

• Согласно теореме Брукса, хроматическое число любого графа за исключением клики или нечётного цикла не превышает максимальной степени его вершин (Δ). Согласно теореме Визинга, хроматический индекс любого графа не превышает Δ + 1.

• k-вырожденным графом называется граф, в котором каждый подграф имеет вершину степенью не больше k.

Обход графа в глубину

На каждом шаге поиска в глубину алгоритм выбирает новую вершину, смежную с текущей и продолжает поиск уже из нее. Такое «углубление» продолжается до тех пор, пока не будет найдена вершина, смежная с конечной или алгоритм не зайдет в тупик. Функция возвращает пару (результат, путь), где результат представляет собой флаг, показывающий наличие пути.

В результате рекурсивного вызова (п. 3.2) может быть найден путь, проходящий через одну из смежных со Start дуг. Если путь найден — то его необходимо дополнить соответствующей дугой (п.3.3), в противном случае — перейти к поиску пути, проходящему через другую дугу (п. 3.4).

Стоит отметить, что на шаге 3 алгоритма листинг 1 выбирается произвольная дуга, однако, выбор дуга влияет на результат, т.к. алгоритм не гарантирует что найденный путь будет кратчайшим. Например, если при поиске пути из вершины P а вершину F, первой будет выбрана дуга (P, D), то будет найден путь (P, D, F), однако, если первой будет взята дуга (P, B), то может быть найден путь (P, B, C, D, F).