Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число   называется точной верхней гранью (границей), если:

 для 

 для   (любое число меньшее M верхней гранью не является).

 (  — супремум  ).

Число   называется точной нижней гранью (границей), если:

 для 

 для   (любое число меньшее M верхней гранью не является).

 (  — инфимум  ).

(если множество   неограничено сверху, то пишем   если множество   неограничено снизу, то пишем  )

Примечание: если   не является точной верхней граньюмножества    и  , тогда 

если   не является точной нижней гранью множества    и  , тогда 

Примеры:

   

30. Матрица как линейный оператор.

Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .

В этих пространствах определены базисы e = {e₁, ..., e_n} и f = {f₁, ..., f_m}.

Пусть A(e_i ) = a_1i·f₁ + a_2i·f₂ + ...+ a_mi·f_m — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x,

Собственный вектор.

Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольноголинейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даётколлинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Множество всех собственных векторов линейного преобразования называетсясобственным подпространством, множество всех собственных значений матрицы или линейного преобразования —спектром матрицы или преобразования.

Пусть   — линейное пространство над полем  ,   — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого 

Собственным значением линейного преобразования   называется такое число  , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение  имеет ненулевое решение  .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор  , который отображается оператором в коллинеарный  , а соответствующий скаляр  называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

где   — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования   для данного собственного значения   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого натурального числа 

Если   является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть  ), то   называется высотой корневого вектора  .

Корневым подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   называется множество всех корневых векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).