22. Взвешенные графы

            Определение. Граф (орграф) называется взвешенным (нагруженным), если каждой дуге   x   соответствует некоторое действительное число  s(x).

            Значение s(x) называется весом. В качестве весов могут выступать длины дуг, пропускная способность, стоимость эксплуатации и т. д. Для любого пути p нагруженного графа обозначим через s(p) сумму весов, входящих в p дуг, при этом каждая дуга учитывается столько раз, сколько она входит в данный путь. Величина  s(p)  называется длиной пути p. Ранее так называлось количество дуг в пути не нагруженного графа, что соответствует случаю когда все веса равны 1.

Определение. Путь в нагруженном графе из вершины  vi  в  vj , где  vi ` vj, называется минимальным, если он имеет минимальную длину среди всех путей из вершины    v  i   в   vj.

            Приведем некоторые свойства минимальных путей в нагруженных графах.

1) Если для  x   X, s(x) > 0, то любой минимальный путь является простой цепью.

            2) Если        v1 v2 … vk – минимальный путь, то для любых номеров   i, j   таких, что      1d i d j d k,   путь      vi v  … v   также является минимальным.

            3) Если         vi … vm vj – минимальный путь среди путей из вершины  vi   в   vj, содержащих не более    k+1   дуг, то    vi … vm– минимальный путь среди путей из вершины    vi   в   vm, содержащих не более   k   дуг.

            Рассмотрим задачу поиска минимальных путей в нагруженном орграфе. Для графа поиск минимальных путей производится аналогично.

Структура смежности, отраженная в матрице смежности, может быть также представлена в виде линейного графа. Построим граф с вершинами по числу входных букв и соединим две различные вершины линией или ребром графа, если соответствующие им входные буквы являются смежными. [1]

Структуры смежности могут быть удобно реализованы массивом из V линейно связанных списков, где каждый список содержит последователей некоторой вершины. Поле данных содержит метку одного из последователей, и поле указателей указывает следующего последователя ( разд. Хранение списков смежности в виде связанного списка желательно для алгоритмов, в которых в графе добавляются или удаляются вершины. [2]

Структуры смежности могут быть удобно реализованы массивом из п ( число вершин в графе) линейно связанных списков. Каждый список содержит вершины, смежные с вершиной, для которой составляется список. Хранение же списков смежности на сцепленной памяти желательно в алгоритмах, в основе которых лежат операции добавления и удаления вершин из списков. Следует отметить, что во многих задачах на графах выбор представления является решающим для эффективности алгоритмов. [3]

Представление графа с помощью структуры смежности позволяет ускорить обследование графа. В просмотре глубины 1 граф предварительно исследуется таким образом, что всегда выбирается ребро, выходящее из вершины, у которой имеются еще не пройденные инцидентные ребра и которую мы достигли позже всех других вершин с таким свойством. [4]

23. Соответствие и функции Соответствия

Соответствием между множествами А и В называется подмножество G⊆A×B.

Если (a, b) ∈ G, то говорят, что b соответствует а при соответствии G. Множество np₁G называется областью определения соответствия, множество np₂G — областью значений соответствия. Если np₁G = А, то соответствие называется всюду определенным (в противном случае соответствие называется частичным); если np₂G = В, то соответствие называется сюръективным.

Множество всех b ∈ B, соответствующих элементу а ∈ А, называется образом а в В при соответствии G. Множество всех а, которым соответствует b, называется прообразом b в А при соответствии G. Если С ∈ np₁G, то образом множества С называется объединение образов всех элементов С. Аналогично определяется прообраз множества D для любого D ⊆ np₂G.

Соответствие G называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из np₁G является единственный элемент из np₂G. Соответствие G между А и В называется взаимно-однозначным (иногда пишут «1-1-соответствие»), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и, кроме того, прообразом любого элемента из np₂G является единственный элемент из np₁G.

Так, например, англо-русский словарь устанавливает соответствие между множеством английских и русских слов. Это соответствие не является функциональным (так как одному английскому слову, как правило, ставится в соответствие несколько русских слов); кроме того, оно практически никогда не является полностью определенным: всегда можно найти английское слово, не содержащееся в данном словаре.

Позиция на шахматной доске представляет собой взаимно-однозначное соответствие между множеством оставшихся на доске фигур и множеством занятых ими полей.

Различные виды кодирования — кодирование букв азбукой Морзе, представления чисел в различных системах счисления, секретные шифры, входящие и исходящие номера в деловой переписке и другие — являются соответствиями между кодируемыми объектами и присваиваемыми им кодами. Эти соответствия, как правило, обладают всеми свойствами взаимно-однозначного соответствия, кроме, быть может, одного — сюръективности. Единственность образа и прообраза в кодировании гарантирует однозначность шифровки и дешифровки. ∈тсутствие сюръективности означает, что не всякий код имеет смысл, т. е. соответствует какому-либо объекту. Например, кодирование телефонов г. Москвы семизначными номерами не сюръективно, так как некоторые семизначные номера не соответствуют никаким телефонам.

Если между конечными множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то |А| = |В|.