14.Теорема Гауса і її застосування для розрахунку електростатичних полів.

Теорема Гауса в інтегральній формі. Теорема Гауса є одною з найважливіших теорем електростатики. Вона відповідає закону Кулона і принципу накладання. Теорему можна сформулю­вати і записати трьома способами.

1. Потік вектора електричного зсуву через будь-яку замкну­ту поверхню, що оточує деякий об'єм, дорівнює алгебраїчній сумі вільних зарядів, що знаходяться усередині цієї поверхні:

^(14.1)

З формули (14.1) видно, що вектор є такою характе­ристикою поля, яка за інших рівних умов не залежить від діелектричних властивостей середовища.

2. Оскільки то теорему Гауса для однорідного і ізотропного середовища можна записати і в такій формі:

^(14.2)

тобто потік вектора напруженості електричного поля крізь будь-яку замкнуту поверхню дорівнює сумі вільних зарядів, що знаходяться усередині цієї поверхні, розділеної на добуток

З формули (14.2) виходить, що вектор є харак­теристикою поля, яка на відміну від вектора при інших рівних умовах залежить від діелектричних властивостей середовища.

Потік вектора визначається лише сумою зарядів і не залежить від їх розташування усередині замкнутої поверхні.

3. Потік вектора через будь-яку замкнуту поверхню створюється не тільки сумою вільних зарядів але і сумою зв'язаних зарядів , що знаходяться усередині поверхні.

З курсу фізики відомо, що потік вектора поляризації крізь будь-яку замкнуту поверхню рівний алге­браїчній сумі зв'язаних зарядів взятих із протилежним знаком , що знаходяться усередині цієї по­верхні:

(14.3)

Формулу (14.1) можна переписати таким чином:

(14.4)

Отже:

(14.5)

або:

^(14.6)

Формули (14.2) і (14.6) відрізняються своїми правими частинами.

Застосування теореми Гауса для визначення напруженості і потенціалу в полі точкового заряду. Теорему Гауса в інтегральні формі можна використовувати для знаходження напруженості або електричного зсуву в якій-небудь точці поля, якщо через цю точку можна провести замкнуту поверхню таким чином, що всі її точки будуть в однакових (симетричних) умовах по відношенню до заряду, що знаходиться усередині замкнутої поверхні.

Такою поверхнею є зазвичай сфера (якщо заряд точковий) або бічна поверхня циліндра (якщо заряд лінійний). При цьому через симетричне розташування всіх точок поверхні відносно заряду числове значення напруженості поля в різних точ­ках цієї поверхні буде однаковим.

Як приклад використання теореми Гауса знайдемо напруженість поля, створювану точковим зарядом в точці, віддаленій на відстані R від заряду. З цією метою через задану точку проведемо сферичну поверхню радіусом R, вважаючи, що заряд знаходиться в центрі сфери, і застосуємо до цієї сфери теорему Гауса.

Елемент поверхні сфери dS перпендикулярний поверхні сфе­ри і направлений у бік зовнішньої (по відношенню до об’єму усередині поверхні) нормалі.

У даному прикладі в кожній точці сфери Е і dS збігаються по напряму. Кут між ними дорівнює нулю. Якщо врахувати, що числове значення Е в усіх точках сфери одне і те ж, то Е можна винести з-під інтеграла:

(14.7)

Отже, напруженість, що створюється точковим зарядом q на відстані R від нього:

^(14.8)

Через сферичну симетрію напруженість поля має тільки одну R складову в сферичній системі координат. Значить:

(14.9)

Звідси:

^(14.5)

Таким чином, потенціал в полі точкового заряду обернено пропор­ційний першому степеню відстані R від точкового заряду до точки, в якій визначається потенціал; С є сталою інтегрування, з точністю до якої визначається потенціал.