5. Схема заміщення змішаного сполучення резисторів. Перетворення трикутника в зірку і навпаки.

З'єднання трьох опорів, що має вид трьохпроменевої зірки (рис.5.1), називають зіркою, а з'єднання трьох опорів так, що вони утворюють собою сторони трикутника (рис.5.2) — трикутником. У вузлах 1,2,3 (потенціали їх ₁, ₂ і ₃) трикутник і зірка з'єднуються з рештою частини схеми.

Позначимо струми, що підтікають до вузлів 1, 2,3, через I₁, I₂ і I₃.

Часто при підрахунку електричних ланцюгів виявляється корисно перетворити трикутник в зірку або, навпаки, зірку в трикутник. Практично частіше буває необхідно перетворити трикутник в зірку. Якщо перетворення виконати таким чином, що при однакових значеннях потенціалів однойменних точок трикутника і зірки струми одинакові, що підтікають до цих точок, то вся зовнішня схема «не помітить» проведеної заміни. Виведемо формули перетворень. З цією метою виразимо струми I₁, I₂ і I₃ в зірці і в трикутнику через різниці потенціалів точок і відповідну провідність.

Для зірки:

(5.1)

але:

(5.2)

Рисунок 5.1. Рисунок 5.2.

Підставимо (5.1) в (5.1) і знайдемо ₀:

(5.3)

звідки:

(5.4)

Введемо ₀ у вираз (5.2) для струму I₁:

(5.5)

Для трикутника відповідно до позначень на рис. 5.2:

(5.6)

Оскільки струм I₁, в схемі рис. 5.1 дорівнює струму I₁, в схемі рис. 5.2 при будь-яких значеннях потенціалів ₁, ₂ і ₃, то коефіцієнт при ₂ в правій частині (5.6) дорівнює коефіцієнту при ₂ в правій частині (5.5), а коефіцієнт при ₃ в правій частині (5.6) — коефіцієнту при ₃ в правій частині (5.5).

Отже:

^{(5.7) (5.8)}

Аналогічно:

^(5.9)

Формули (5.7)-(5.9) дають можливість визначити провідності сторін трикутника через провідність променів зірки. Вони мають структуру, що легко запам'ятовується: індекси у провідності в чисельнику правої частини відповідають індексам у провідності в лівій частині; у знаменнику — сума провідності променів зірки.

З рівнянь (5.7)-(5.9) виразимо опори променів зірки ^{через опори сторін трикутника:}

З цією метою запишемо дроби, зворотні (5.7)-(5.9):

^(5.10)

де

^{(5.11) (5.12) (5.13)}

Підставивши (5.10), (5.12) і (5.13) в (5.11), отримаємо:

(5.14)

Отже:

(5.15)

Підставивши m в (5.12), знайдемо

(5.16)

Аналогічно:

(5.17)

(5.18)

Структура формул (5.16)-(5.18) аналогічна структурі фор­мул (5.7)-(5.9).

Перетворення трикутника в зірку можна пояснити, розглянувши, наприклад, схему рис. 5.3, а, б. На рис. 5.3, а зображена схема до перетворення, пунктиром обведений перетворюваний трикутник. На рис. 5.3, б представлена та ж схема після перетворення. Розрахунок струмів провести для неї простіше (наприклад, мето­дом двох вузлів), ніж для схеми рис. 5.3, а.

У корисності перетворення зірки в трикутник можна переконатись на прикладі схем мал. 2.27, в, г. На мал. 2.27, в зображена схема до перетворення, пунктиром обведена перетворювана в трикутник зірка. На рис. 5.3, г представлена схема після перетворення, яка звелася до послідовного з'єднання опорів.

в) г)

Рисунок. 5.3