20.Теорема Умова-Пойнтінга і її застосування.

Теорема Умова — Пойнтінга для миттєвих значень.

Окрім рівнянь Максвелла, велике значення в теорії електро­магнітного поля має теорема Умова—Пойнтінга, яка описує енергетичні співвідношення в полі.

Теорема Умова—Пойнтінга має дві форми запису: перша — для миттєвих значень, друга — комплексна форма — для синусої­дальних величин, що змінюються.

Відомо, що енергія електричного поля в одиниці об'єму рівна . Енергія магнітного поля в одиниці об'єму — . Енергія в об'ємі dV рівна

Розглянемо вираз, до якого увійшла повна енергія в об'ємі dV:

. (22.8)

(22.9)

З (22.8) віднімемо (22.9). Тоді:

. (22.10)

Оскільки, , то ліва частина (22.10) є . Отже:

Для скорочення запису позначимо векторний добуток на через тобто приймемо, що — це вектор, званий вектором Пойнтінга; розмірність його дорівнює добутку розмірно­стей Е і Н:

Таким чином, вектор Пойнтінга має розмірність потужності (або енергії в одиницю часу), віднесеної до одиниці поверхні і напрям його (рис. 22.1) збігається з напрямом руху вістря правого гвинта, якщо головку останнього обертати по найкоротшому напряму від Е до Н. Отже:

(22.11)

Рисунок. 22.1

Розповсюдимо (22.11) на деякий об'єм кінцевих розмірів. З цією метою проінтегруємо (22.11) за об'ємом V:

(22.11а)

Подібно до того, як поверхневий інтеграл по теоремі Стокса перетворюється в лінійний: об'ємний інтеграл у свою чергу може бути перетворений в поверх­невий. Це перетворення здійснюють за допомогою теореми Ос­троградського—Гаусса:

Якісно пояснимо це перетворення. Розіб'ємо об'єм V (рис. 22.2) на окремі об'єми , замінемо на (строго кажучи, треба було б записати , де — елемент поверхні об'єму , а знак означає підсумовування по всіх поверхнях об'єму . Тоді:

Перший знак суми означає підсумовування по поверхнях малого об'єму, а другий — по окремих об'ємах.

Сума може бути розбита на дві суми: на суму виразів але всім поверхням, що відокремлюють один об'єм від сусіднього (по «внутріш­ніх» поверхнях), і на суму по всіх «периферійних» поверхнях.

Рисунок. 22.2 Рисунок 22.3

Перша сума дорівнює нулю, оскільки для двох суміжних об'ємів зовнішні нормалі до загальної поверхні направлені зустрічно. Рисунок. 22.3 пояснює це; тп — загальна грань двох об'ємів. Для верхнього об'єму нормаль до грані направлена вниз , для нижнього— вгору ; вектор, будучи помноженим на дасть нуль. Сума по всіх периферійних поверхнях і є

Теорему Умова—Пойнтінга для миттєвих значень записують таким чином:

(22.12)

Ліва частина (22.12) є потоком вектора Пойнтінга (направлений всередину об'єму) крізь будь-яку замкнуту поверхню 5, що обмежує деякий об'єм V.

Пояснимо сенс знаку «мінус» в лівій частині формули (22.12).

Елемент поверхні dS в будь-якій її крапці направлений у бік зовнішньої по відношенню до даного об'єму нормалі. Вектор Пойнтінга направлений всередину цього об'єму. Оскільки кут між і більше 90°, то скалярний твір а Таким чином, за рахунок знаку «мінус» ліва частина формули (22.9) — величина позитивна.

Відповідно до рівняння Джоуля—Ленца в диференціальній формі — енергія, що виділяється у вигляді теплоти в одиниці об'єму в одиницю часу.

Тому є енергія, що виділяється у вигляді теплоти в одиницю часу в об'ємі V; є швидкість зміни запасу електромагнітній енергії в одиниці об'єму.

Але швидкість зміни електромагнітної енергії є потужність. Отже, потік вектора Пойнтінга крізь будь-яку замкнуту поверхню, що обмежує об'єм V, дорівнює потужності, що виділяється в об'ємі V у вигляді теплоти, і потужності, що йде на приріст енергії електромагнітного поля.

Теорему Умова—Пойнтінга слід трактувати як рівняння енергетичного балансу; ліва частина (22.12) є потужність або енергія в одиницю часу, що доставляється у вигляді потоку вектора Пойнтінга всередину деякого об'єму; права частина (22.12) є енергія, що витрачається в одиницю часу усередині об'єму.

Рисунок. 22.4

Співвідношення (22.12) було отримане в припущенні, що середовище усередині об'єму V однорідне і ізотропне, а також в припущенні, що відсутній відбита хвиля і усередині об'єму немає джерел ерс.

Якщо поле не змінюється в часі, то

Електромагнітна енергія від місця її генерування передається до місця споживання по діелектрику (дроти ж в лініях передачі виконують двояку роль: вони є каналами, по яких проходить струм, і організаторами структури поля в діелектриці).

Покажемо справедливість цього твердження на простому прикладі. Хай енергія постійного струму передається по коаксіальному ка­белю (мал. 22.4). Радіус жили r₁, внутрішній радіус оболонки r₂.

Приймемо провідність матеріалу жили і оболонки настільки високу (теоретично нескінченною великою), що напруженості поля в жилі і оболонці прагнуть до нуля. Простір між жилою і оболонкою заповнений діелектриком.

Переконаємося, що енергія, передавана приймачу в одиницю часу, рівна UI, дійсно каналізується по діелектрику.

З цією метою підрахуємо потік вектора Пойнтінга через попереч­ний перетин діелектрика, в даному прикладі кільце, що є, з внутрішнім радіусом r1 і зовнішнім r₂. Напруженість магнітного поля в діелектриці за законом повного струму

Рисунок. 22.5

Напруженість електричного поля в діелектрику при постійному струмі розраховується так само, як і в умовах електро­статики:

де Q— повний заряд жили на довжині l;

U — напруга між жилою і оболонкою.

Отже, в деякій точці діелектрика, розташованій на відстані r від осі

( і — взаємно перпендикулярні; див. рис. 22.4). Потік вектора Пойнтінга через кільце з радіусами і :

Таким чином, вся енергія передаєт­ься, що поступає до приймача, по діелектрику. По жилі і оболонці енергія до приймача не пере­дається. Більш того, якщо врахувати, що кінцева і напруженість електричного поля в жилі і оболонці направлена по струму і не дорівнює нулю, то неважко переконатися в наявності потоку вектора Пойнтінга через бічну поверхню дроту всередину дроту, тобто проводи дроти са­мі споживають з діелектрика енергію на покриття теплових втрат.

Теорема Умова— Пойнтінга в комплексній формі запису.

Перш ніж записати теорему Умова—Пойнтінга в комплексній фор­мі, розглянемо питання про повну потужність в ланцюзі змінного струму. Повна потужність

Хай коло змінного струму містить послідовно з’єднані активні опори R, індуктивність L і ємкість С.

Тоді реактивна потужність:

Тут:

де U_с — напруга на конденсаторі.

Таким чином, реактивна потужність Q дорівнює різниці між маг­нітною і електричною енергіями ланцюгом, помноженим на . Подібно до того як в ланцюзі змінного струму для обчислення повної потужності треба помножити комплекс напруги 0 на зв'язаний комплекс струму I, вводиться у вживання комплексний вектор Пойнтінга . Замість — тепер буде

Відповідно до (22.6) і (22.7):

Отже, і:

Тому:

(22.13)

Перший доданок правої частини (22.13) є активною потужністю, другий — реактивною. Таким чином, теорему Умова—Пойнтінга можна записати ще таким чином:

У такому вигляді її часто використовують для визначення активного і внутрішнього реактивного опорів провідників на змінному струмі