16. Метод дзеркальних відображень і його застосування для розрахунку електростатичних полів.

Для розрахунку електростатичних полів, обмежених якою-небудь провідною поверхнею правильної форми або в яких є геометрично правильної фор­ми межа між двома діелектриками, широко застосовують метод дзеркальних відображень.

Це штучний прийом розрахунку, в якому окрім заданих заря­дів вводять ще додаткові, величини і місце положення яких вибирають так, щоб задовольнити граничним умовам в полі. Тер­иторіальні заряди поміщають там, де знаходяться дзеркальні відображення заданих зарядів. Метод дзеркаль­них відображень застосовують не тільки для розрахунку електростатичних полів, але і для розрахунку електричних полів в провідному середовищі і маг­нітних полів. Обгрунтуванням методу і правильності що дається їм рі­шення є теорема єдності.

Заряджена вісь (—заряд на одиницю довжини) розташована в діелектрику паралельно поверхні провідного середовища (рис. 19.16, а). Провідним середовищем може бути яка-небудь металева стінка або, наприклад, земля. Потрібно визначити характер поля у верхній напівплощині.

В результаті електростатичної індукції на поверхні провідного тіла виступають заряди. Щільність їх міняється із зміною координати х. Поле в діелектрику створюється не тільки зарядженою віссю, але і зарядами, що виступили на поверхні провідного тіла внаслідок електростатичної індукції. Не дивлячись на те що розподіл щільності зарядів на поверхні провідного середовища невідомо, дане завдання порівняно легко можна вирішити по методу дзеркальних відображень.

Помістимо в точці m фіктивний заряд зворотного знаку (-) по відношенню до заданого заряду . Відстань h від точки m до площини розділу середовищ така ж, як і відстань від дійсного заряду до площини розділу. У цьому сенсі здійснене дзеркальне відображе­ння. У даному завданні фіктивний заряд чисельно дорівнює заданому, але має зворотний знак. Так буде не завжди, тобто не у всіх задачах фіктивний заряд чисельно дорівнюватиме заданому і має протилежний знак.

Переконаємося, що напруженість поля від двох зарядів ( і -) в будь-якій точці границі розділу має тільки нормальну до границі складову і не має тангенціальної складової (див. побудову на мал. 19.16, а). Дійсно, тангенціальні складові від двох зарядів мають протилежні напрями і в сумі дають нуль в будь-якій точці поверхні.

Можна переконатися в тому, що потенціал від кожної з осей, визначається формулою:

(16.1)

Для перевірки слід підставити праву частину формули (16.1) у формулу:

і переконатися в тому, що ² дорівнюватиме нулю:

Оскільки потенціал від кожної з осей задовольняє рівнянню Лап­ласа і в той же час задовільняє граничні умови, то на основа­ні теореми єдності отримане рішення є істинним.

Картина поля зарядженої осі, розташованої паралельно провідними площинами, зображена на рис. 19.16,б. Силові лінії перпен­дикулярні поверхні дроту і поверхні провідної площини. Знаки мінус на поверхні провідної площини означають від’ємні заряди, що виявилися на її поверхні в результаті електростатичної індукції.