15.Рівняння Пуасона і Лапласа і їх застосування для електростатичних полів.

Рівняння Пуассона і рівняння Лапласа. Ці рівняння є основними диференціальними рівняннями електро­статики. Вони витікають з теореми Гауса в диференціальній фор­мі. Дійсно, відомо, що В той же час згідно теореми Гауса

Розглянемо формулу:

(15.1)

Винесемо мінус за знак дивергенції:

Замість запишемо його еквівалент замість div напишемо

Тоді:

(15.2)

або:

(15.3)

Рівняння (15.3) називають рівнянням Пуассона. Частковий вид рівняння Пуассона, коли, називають рівнянням Лапласа. Рівняння Лапласа записують так:

(15.4)

Оператора називають оператором Лапласа, або лапласіаном, та іноді позначають ще символом  . Тому можна побачити і таку форму запису рівняння Пуассона:

Розкриємо в декартовій системі координат. З цією метою вираз двох множників і запишемо в розгорненому вигляді:

Проведемо почленне множення і отримаємо:

Таким чином, рівняння Пуассона в декартовій системі коорди­нат записують так:

(15.5)

Рівняння Лапласа в декартовій системі координат:

(15.6)

Приведемо без виведення виразу у циліндричні системі координат

^(15.7)

у сферичній системі координат:

^(15.8)

Рівняння Пуассона виражає зв'язок між власними похідними другого порядку від  в будь-якій точці поля і об'ємною щільністю вільних зарядів в цій точці поля. В той же час потенціал в якій-небудь точці поля залежить від всіх зарядів, що створюють поле, а не тільки від величини вільного заряду, що знаходиться в даній точці. Рівняння Пуассона застосовують при дослідженні потенціальних полів (електричних і магнітних) з 1812 р.

Рівняння Лапласа (1782 р.) спочатку було застосоване для опису потенціальних полів небесної механіки і згодом використовувалася для опису електричних полів.

Розглянемо питання про те, як в загальному вигляді можна записати вирішення рівняння Пуассона.

Припустимо, що в об'ємі V є об'ємні () поверхневі () і лінійні () заряди. Ці заряди представимо у вигляді сукупності точкових зарядів: dV, dS, dl — елемент об'єму; dS — елемент за­рядженої поверхні; dl — елемент довжини зарядженої осі. Складова потенціалу d в деякій точці простору, віддаленій від dV на відстань R, відповідно рівна:

Складові потенціалу від поверхневого і лінійного зарядів, якщо розглядати їх як точкові, визначимо аналогічним чином:

Повне значення визначимо як суму (інтеграл) складових потенціалу від всіх зарядів в полі:

^(15.9)

У формулі (15.9) ,  і  є функції радіусу R. Практично формулою (15.9) користуються порівняно рідко, оскільки розподі­л  по поверхні,  по довжині і  за об'ємом залежить від конфігура­ції електродів і, як правило, перед проведенням розрахунку невідомо. Тому інтегрування провести важко, оскільки зазвичай невідомо, яка залежність ,  і  від радіусу R.

При використанні формули (15.9) передбачається, що потенці­ал на нескінченності дорівнює нулю і що заряди, що створюють поле, розташовані в обмеженій (не нескінченно протяжній) області ( інакше інтеграл може виявитися таким, що розходиться).