3. Формула Журавського для визначення дотичних напружень. Введемо два припущення про характер розподілу дотичних напружень у поперечному перерізі прямокутної балки з відношенням :

дотичні напруження – t скрізь паралельні поперечній силі Q;

в усіх точках перерізу на даному рівні (y=const) t однакові (тобто t постійні по ширині і залежать тільки від відстані точки до центральної лінії).

Формула для визначення дотичних напружень при поперечному згині отримана Д.І.Журавським у вигляді

,

де S_відр –статичний момент відрізаної площі перерізу відносно нейтральної осі; b –ширина поперечного перерізу балки в точках з ординатою y, для яких визначається дотичне напруження t; І –осьовий момент інерції перерізу; Q –поперечна сила у перерізі.

Формула Журавського підтверджується для вузького прямокутного перерізу точним розв‘язком теорії пружності. Однак її застосовують також до перерізів іншої форми, якщо можна припустити, що дотичні напруження розподіляються рівномірно вздовж деякої лінії, проведеної у перерізі.

Слід застосовувати формулу Журавського для визначення дотичних напружень і побудови їх епюр для деяких форм поперечних перерізів: прямокутного, круглого, двотаврового.

Максимальні дотичні напруження не повинні перевищувати допустимої величини [t].

4. Поняття про центр згину. Центром згину називають точку у поперечному перерізі балки, через яку проходить рівнодіюча дотичних зусиль при поперечному згині балки.

Дотичні напруження в поперечних перерізах балок (двотавр, швелер) визначаються за формулою

.

Рис.7.12

Визначимо положення центра згину для швелера. Розглянемо дотичні напруження, що виникають у перерізі швелера при поперечному згині балки (рис. 7.12,а). У стиці швелера рівнодіюча дотичних напружень τ_у збігається з середньою лінією стінки. Нехтуючи вертикальними складовими дотичних зусиль у поличках швелера, можна записати рівність Т₂=Q_у.

У поличках швелера виникають дотичні напруження τ_z. Найбільше дотичне напруження τ_{z max} визначається так:

.

Тут - статичний момент площі перерізу полиці відносно осі OZ:

.

Тоді .

Рівнодіючу горизонтальних дотичних зусиль знайдемо так:

.

В нижній полиці виникає така ж рівнодіюча сила Т₁, яка буде напрямлена в протилежному напрямку.

Отже, у поличках швелера виникають горизонтальні дотичні зусилля (рис.7.12,б), рівнодіючі яких Т₁ утворюють пару сил з моментом

.

Таким чином, при згині балки (переріз швелер) силою, яка прикладена в центрі ваги, балка одночасно закручується.

Вертикальну силу Q_y у стінці перерізу і пару сил з моментом М₁ замінимо статично еквівалентною силою Q_y, паралельною силі Т₂ у стінці і прикладеною у шуканому центрі згину А. Тобто точка А, відносно якої головний момент дорівнює нулю, називається центром згину:

,

звідки , де с- відстань центру згину А від середньої лінії стінки швелера.

Підставляючи значення М₁, Q_y у вираз для с, отримаємо

.

Якщо зовнішню силу прикласти не в центрі ваги перерізу, а в центрі згину, то вона викличе відносно центра ваги момент, який буде дорівнювати внутрішньому моменту від дотичних зусиль, але з протилежним знаком. При такому навантаженні швелер закручуватися не буде, а буде тільки згинатися.

Лекція 15. Аналіз напруженого стану, головні напруження при згині. Траєкторії головних напружень. Повна перевірка міцності балки.

1. Аналіз напруженого стану, головні напруження при згині. При плоскому поперечному згині балок були отримані формули для обчислення нормальних  та дотичних  напружень. Нормальні напруження , а дотичні напруження .

Таким чином, у довільній точці балки (рис.7.13 а) при згині виникає плоский напружений стан. Знайдемо головні напруження, які діють на головних площадках.

а) Рис.7.13 б)

При дослідженні плоского напруженого стану були отримані формули для головних напружень

. (1)

У нашому випадку _x=; _yx=.

Величиною нормальних напружень у горизонтальних площадках будемо нехтувати. Тоді для розглядуваного випадку формули для головних напружень набирають вигляду:

.

Напрями головних напружень визначаються за формулою .

Дослідження напруженого стану зробимо в різних точках перерізу (рис.7.13, б ).

В точці 1:

В точці 2:

В точці 3:

Найбільші дотичні напруження дорівнюють

Задача 7.3. Для заданої стальної балки (рис.7.17) побудувати епюри М і Q і підібрати двотавровий переріз, приймаючи: [σ]=160 МПа, а=3м; =2м; с=1м; d=4м; М₁=20 кН м; М₂=120 кН м; q₁=20 кН/м, q₂=40 кН/м, Р=120 кН.

Розв’язання. Визначимо реакції А і В опор із умов статики як суму моментів відносно правої і лівої опор відповідно:

;

;

А=20 кН.;

;

;

В=60 кН.

Для спрощення виразів, які визначають М і Q, навантаження на ділянках а і розглядаємо ліворуч від перерізу, а на ділянках d і с – праворуч:

,

;

кН;

кН м; кН м;

,

;

кН м;

кн.

;

кН;

кН;

Оскільки при х₂=4 м, то max кН м,

,

;

кН м;

кН м.

;

кН;

кн.

Оскільки при м, то max кН м;

,

;

кН м;

кН м.

кН;

Визначимо, в яких перерізах

;

; ;

м; м.

Епюри згинаючих моментів і поперечних сил побудовані на рис.7.17.

Максимальний (за абсолютним значенням) згинаючий момент дорівнює М_max=1000 кН м. Потрібний момент опору двотаврового перерізу

м³=625 см³.

За сортаментом знаходимо двотавр №33 (ГОСТ 8239-72) з такими характеристиками: W_Z=597 см⁴; І_Z=9840 см⁴; S_max=337 см³.

Перевіримо міцність двотавра за нормальними напруженнями

МПа<1,05[σ].

Рис.7.17

Задача 7.4. Для заданої стальної балки (рис.7.18), приймаючи: [σ]=157 МПа; Р=9,8 кН; q=10,8 кН/м; ℓ=4 м; с=1 м, визначити потрібні розміри круглого, квадратного, прямокутного і двотаврового перерізів. Також визначити відношення ваги балок цих перерізів, нормальне напруження в точці А перерізу під силою для балки двотаврового перерізу.

Рис. 7.18

Розв’язання. Оскільки балка симетрична відносно, середнього перерізу, то максимальний загальний момент буде в цьому перерізі. Від розподіленого навантаження q епюра М – параболічна з ; від зосереджених сил епюра М – трапецоїдна з . Тоді кН м.

Потрібний момент опору перерізу

м³=200 см³.

1. Для круглого перерізу см³;

см; см².

2. Для квадратного перерізу см³;

см; см².

3. Для прямокутного перерізу ; при см³;

см; см².

4. За сортаментом для двотавра №20 W=184 см³; для №20а W=203 см³.

Перевіряємо балку №20:

(перенап-руження)

Оскільки перенапруження більше 5%, то двотаврову балку №20 брати не можна.

Перевіряємо балку №20а:

(недонапруження).

Отже приймаємо балку №20а (ГОСТ 8239-72), для якої А=28,9 см², момент інерції відносно нейтральної осі І=2030 см⁴ і висота h=20 см. Оскільки вага балки пропорціональна площі її поперечного перерізу, відношення ваги балок дорівнює відношенню площ їх перерізів.

Приймаючи площу круглого перерізу за умовну одиницю, будемо мати

.

Таким чином, балка двотаврового перерізу навіть при більших розмірах площі (допущено недонапруження 1,5%) приблизно в 4,4 рази легше балки круглого поперечного перерізу.

Визначимо згинаючий момент в перерізі балки під силою:

кН м.

В точці А цього перерізу, для якої см, нормальне напруження буде стискаючим і визначається за формулою:

Па=64 МПа.

Рис. 7.15

99