Тема 6. Кручення.

Лекції 9-10. Обчислення крутячих моментів і побудова епюр. Напруження і деформації у поперечних перерізах круглого стержня. Потенціальна енергія деформації при крученні. Розрахунок валів при крученні. Статично невизначувані задачі при крученні. Основні результати теорії кручення стержнів некруглого перерізу. Розрахунок циліндричних витих пружин.

Елементи конструкції у формі стержнів використовуються при розрахунку валів, які передають крутячий момент. Типовими деталями, що працюють на кручення, є вали редукторів, станків. Робота стержнів на кручення також зустрічається в багатьох інших елементах машин.

1.Обчислення крутячих моментів і побудова епюр. Для визначення внутрішніх силових факторів, що виникають у поперечних перерізах вала, застосовується метод перерізів. Крутячий момент чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів пар сил, розташованих по одну сторону розглядуваного перерізу. Графік розподілу крутячих моментів по довжині вала називається їх епюрою. При цьому треба врахувати, що моменти передаються на вал не в окремих перерізах, як ми умовно вважаємо при побудові епюр, а на деяких невеличких ділянках вала.

2.Напруження і деформації у поперечних перерізах круглого стержня. Ознайомившись з елементарною теорією кручення бруса круглого перерізу, треба навчитися самостійно виводити формули напружень при крученні такого бруса. Ця задача є статично невизначуваною і розв‘язується за загальним планом розв‘язання статично невизначуваних задач.

У загальному випадку кручення стержня довільного перерізу поперечні перерізи перестають бути плоскими, скривлюються. Ці скривлення називаються депланаціями поперечних перерізів. Лише при крученні стержнів круглого або кільцевого перерізу депланацій немає.

Для визначення напружень у поперечних перерізах стержня розглянемо перш за все статичну сторону задачі. Оскільки при крученні М_кр – єдиний внутрішній силовий фактор у поперечному перерізі вала, є підстава вважати, що тут діють тільки дотичні напруження. Тоді для М_кр одержимо вираз

, (1)

де  –дотичне напруження, що діє на елементарній площадці dA, розташованій на довільній відстані  від центра перерізу. Також треба зауважити, що для круглих стержнів справедлива гіпотеза плоских перерізів (геометричний аспект задачі). Розглядаючи фізичну сторону задачі (закон Гука =G), остаточно отримаємо формулу для максимального дотичного напруження у такому вигляді:

, (2)

де – полярний момент опору.

При довжині стержня l кут закручування  одного кінцевого перерізу відносно другого одержимо у вигляді

, (3)

– жорсткість при крученні

Останню формулу можна розглядати як вираз закону Гука при крученні .

Відносний (погонний) кут закручування визначається із виразу

. (4)

3.Потенціальна енергія деформації при крученні. Величину потенціальної енергії деформації при крученні круглого стержня довжиною l можна виразити так:

. (5)

4.Розрахунок валів при крученні. Одне з найважливіших застосувань теорії кручення стержня круглого перерізу – це розрахунок валів на міцність і жорсткість при крученні.

Умову міцності записують у вигляді

≤[ ], (6)

де [] – допустиме напруження.

Умову жорстокості вала записують у такому вигляді:

, (7)

де – допустимий кут закручування, нормований технічними умовами.

Таким чином, діаметр вала визначають з умови міцності та умови жорсткості. За кінцевий розмір беруть більший діаметр. Крутячий момент обчислюють за значеннями скручувальних моментів, прикладених до вала.

5.Статично невизначувані задачі при крученні. Якщо крутячі моменти, що виникають у поперечних перерізах бруса, не можуть бути визначені за допомогою лише рівнянь статики, то такі задачі називають статично невизначуваними.

При розв‘язанні цих задач необхідно використати рівняння статики і рівняння сумісності деформації.

6

Риc.6.1

. Основні результати теорії кручення стержнів некруглого перерізу. Розв‘язки задач про кручення стержнів некруглого перерізу, одержані методами теорії пружності, показують, що при чистому крученні таких стержнів у їх поперечних перерізах виникають лише дотичні напруження. Через депланацію перерізів задача про кручення бруса некруглого перерізу значно ускладнюється. Наведемо деякі основні результати цих розв‘язань для бруса прямокутного перерізу. Розподіл дотичних напружень в прямокутному перерізі скручуваного бруса зображено на рис.6.1.

Найбільші напруження виникають в серединах довгих сторін і виражаються формулою

, (8)

де W_к – геометрична характеристика перерізу некруглого бруса при його роботі на кручення.

Для прямокутного перерізу

( - коефіцієнт, який залежить від відношення сторін прямокутника).

Максимальне напруження в середині короткої сторони прямокутника виражається формулою

. (9)

Кут закручування бруса прямокутного перерізу визначають за формулою

Рис.6.2

,

де I_к – геометрична характеристика перерізу при крученні. Для прямокутного перерізу . Для геометричних характеристик I_к, W_к різних перерізів складені таблиці, якими слід користуватися у практичних розрахунках.

7.Розрахунок циліндричних гвинтових пружин. Розглянемо циліндричну гвинтову пружину з невеликим кутом нахилу витків (10-15⁰), з радіусом витка R, виготовлену з круглого дроту діаметром d=2r і навантажену розтягуючою силою Р (рис.6.2).

Наведемо приблизний, спрощений метод розрахунку пружини. Для цього уявно відріжемо останній виток пружини вертикальною січною площиною і розглянемо рівновагу нижньої частини. Від дії крутячого моменту і перерізуючої сили (М_к=PR, Q=P) в поперечному перерізі виникають дотичні напруження:

.

Перший доданок у дужках здебільшого значно більший за одиницю, тому одиницею часто нехтують, зводячи розрахунок пружини до розрахунку тільки на кручення за формулою .

Слід зазначити, що при більш точних розрахунках у формулу вводять поправочний коефіцієнт, який враховує вплив перерізуючої сили та інших факторів (згин, осьова сила).

Тоді формула для визначення максимального дотичного напруження у гвинтовій пружині набирає такого вигляду:

,

де коефіцієнт К залежить від відношення і визначається за емпіричною формулою

. (10)

Перейдемо до визначення переміщень у гвинтовій пружині, яка має n витків. Враховуємо тільки деформацію від кручення. При цьому потенціальну енергію прирівнюємо роботі сили, тоді одержимо

,

де  – переміщення (рис.6.2).

Рис. 6.3

8. Метод початкових параметрів. Спершу розглянемо основні залежності при крученні. В стержені, який закручується у площині, перпендикулярній його осі, виділимо елемент dx (рис.6.3) і запишемо диференціальне рівняння рівноваги:

. (11)

Тут М_к(х) – крутячий момент в перерізі х;

m_к(х) – інтенсивність розподіленого крутячого момента.

Із виразу (11) маємо

. (12)

Це статична задача. Розглянемо геометричний бік задачі. Позначимо через φ(х) кут закручування перерізу. Тоді погонний кут закручування

. (13)

З урахуванням закону Гука матимемо

. (14)

Отже, маємо три рівняння (12), (13), (14) із трьома невідомими θ(х),φ(х), М_к(х). З останніх двох рівнянь будемо мати

. (15)

Продиференціювавши вираз (15) по х, одержимо

. (16)

Якщо , , то рівняння (16) набирає вигляду

. (17)

Використовуючи рівняння (16) і (17), можна розв’язувати задачі при крученні. Перший інтеграл диференціального рівняння (16) має вигляд

. (18)

Другий інтеграл диференціального рівняння (16) запишемо так:

. (19)

Інтегруючи перший раз рівняння (17), дістанемо

. (20)

Інтегруючи вдруге, знайдемо

. (21)

Вирази (18) – (21) зображують рівняння епюр θ(х) або М_к(х) і φ(х), тобто є графічним зображенням першого і другого інтегралів диференціального рівняння (16) або (17). Для визначення довільних сталих С₁ і С₂ треба використати граничні умови.

Для різних задач при крученні для побудови епюр силових і деформаційних факторів, крім інтегрування диференціального рівняння (16) або (17), можна більш ефективно використати метод початкових параметрів.

Нехай стержень знаходиться під дією зосереджених і розподілених скручуючих моментних навантажень (рис.6.4)

Рис.6.4

Остаточно рівняння методу початкових параметрів при крученні для θ(х) і φ(х) запишемо так:

;

.

(22)

Знаки Σ враховують декілька ділянок із однаковими деформаційними факторами.

9. Кручення пружнов’язкого стержня. Фізичну залежність між τ і γ для в’язкопружного матеріалу при крученні можна прийняти в такому вигляді:

, (23)

де G – тривалий модуль зсуву, Н^* - миттєвий модуль зсуву, τ – дотичне напруження при чистому зсуві, n – час релаксації. Між кутом зсуву γ і відповідним кутом закручування ψ є залежність: γ=ρψ, де ρ – радіус точки перерізу.

Тоді і вираз (23) набирає вигляду

.

Перемноживши обидві частини рівності на ρdA і проінтегрувавши цю рівність по всій площі, одержимо

.

Тут: .

Тоді останнє рівняння можна переписати так:

. (24)

Якщо відомий закон зміни в часі крутячого моменту, то із (24) знайдемо ψ як функцію від t.

При М_кр=const матимемо такий вираз:

. (25)

Слід визначити, що дотичні напруження в поперечному перерізі стержня визначають за формулою ,

де М_кр=const.

Якщо закрутити кінці бруса (довжина бруса ℓ) на деякий кут φ і затиснути ці кінці, то будемо мати

.

Тоді вираз (23) матиме вигляд

,

де .

З урахуванням виразу (24) в даному випадку маємо

.

Тоді остаточно отримаємо такий вираз:

, (26)

де - значення крутячого моменту при t=0.

Зменшення крутячого моменту внаслідок релаксації напружень показано на графіку (рис.6.5).

Рис.6.5

69