Тема 3. Теорія напруженого стану.

Лекція 5-6. Напруження в точці. Закон парності дотичних напружень. Головні площадки і головні напруження. Плоский напружений стан. Екстремальні дотичні напруження. Просторовий напружений стан. Узагальнений закон Гука. Питома потенціальна енергія деформації при об’ємному напруженому стані. Реологічні залежності для пружнов’язких систем

Під час роботи на елементи конструкції діють зовнішні сили, які викликають в них напруження і деформації. Розглянемо загальні методи аналізу напруженого стану.

1. Напруження в точці. Цей розділ є одним з найскладніших. На початку його вивчення треба добре засвоїти, що розуміємо під напруженим станом у довільній точці деформованого тіла.

Аналіз напруженого стану в точці деформованого тіла здійснюється методом граничного переходу до нескінченно малих об’ємів. Виконується це так: навколо досліджуваної точки виділяють елементарний об’єм (наприклад, паралелепіпед). При зменшенні розмірів такого об’єму він стягуватиметься в розглядувану точку, тобто всі грані виділеного елемента пройдуть через точку К. Отже, напруження, що діють на гранях такого нескінченно малого паралелепіпеда, можна розглядати як напруження в досліджуваній точці К.

Напруженим станом в точці називається сукупність напружень, які діють на різних площадках, проведених через точку.

На гранях паралелепіпеда, виділеного в околі точки навантаженого тіла, діють дев’ять компонентів напружень:

Тут _x, _y, _z – нормальні напруження; _xy, _xz, _yz – дотичні напруження.

2. Закон парності дотичних напружень. Головні площадки і головні напруження. На основі закону парності дотичних напружень: дотичні напруження на двох будь-яких взаємно перпендикулярних площадках, які спрямовані перпендикулярно до лінії перетину площадок, однакові за модулем – з дев’яти компонентів напружень залишається шість різних: . Вивчаючи напружений стан матеріалу, можна виділити площинки, на яких немає дотичних напружень. Такі площинки називають головними площинками, а нормальні напруження, які на них виникають – головними напруженнями.

У будь-якій точці довільно навантаженого тіла можна завжди вказати три взаємно-перпендикулярні головні площинки. Головні напруження можуть усі бути нерівними нулеві, або деякі з них можуть бути рівними нулеві.

У залежності від того, скільки є нерівних нулеві головних напружень, розрізняють три види напруженого стану матеріалу: об’ємний (тривісний), плоский (двовісний) і лінійний (одновісний).

а) б) в)

Рис 3.1

Головні напруження позначають індексами 1, 2, 3, причому завжди вважатимемо, що .(рис.3.1 а, б, в,).

3.Плоский напружений стан. Екстремальні дотичні напруження .

Треба ознайомитися з методикою визначення напружень за різними площинками при складному напруженому стані.

При дослідженні плоского напруженого стану бувають задачі двох типів.

Д

ля напруженого стану, заданого головними напруженнями ₁, ₂ потрібно визначити нормальні _ і дотичні _ напруження для будь-якої похилої площинки, заданої кутом  (рис.3.2, а).

Для напруженого стану, заданого в загальному вигляді (рис.3.3,а), треба визначити нормальні _ і дотичні _ напруження для будь-якої похилої площинки, а також знайти положення головних площинок і величину головних напружень.

Для аналітичного визначення напружень _ і _ використовують відомий метод перерізів (рис.3.2,б та 3.3,б). Складаючи суму проекцій всіх сил на дві взаємно-перпендикулярні осі, дістанемо рівняння, з яких знаходимо напруження σ_α і τ_α. Розв’язання буде простішим, якщо координатні осі сумістити з лініями дії σ_α і τ_α. Для випадку, зображеному на рис. 3.3,б, матимемо (при ):

(1)

Визначити напрям головних площинок можна, якщо задовольняється така умова: на головних площинках дотичне напруження дорівнює нулю (_=0). Тоді матимемо вираз:

. (2)

Для кута ₀ дістанемо два значення (₁ і ₂), які відрізняються одне від одного на /2. Ці кути визначають положення двох взаємно-перпендикулярних головних площинок. По одній із них діятиме головне напруження ₁, а по другій – головне напруження ₂. Величини головних напружень дістаємо з виразу (1). Ці формули для головних напружень мають такий вигляд:

Максимальне дотичне напруження у випадку плоского напруженого стану має таке значення: .

Слід зазначити, що для просторового напруженого стану екстремальні дотичні напруження дорівнюють і діють на площадках, нахилених під кутом 45^ до напрямку головних напружень ₁ та ₃.

4. Просторовий напружений стан. Узагальнений закон Гука. Визначимо відносні лінійні деформації ₁, ₂, ₃ ребер елементарного кубика, що знаходиться у стані всестороннього розтягу, у напрямі кожного з головних напружень (рис.3.1,а).

Використовуючи спосіб суперпозиції, зобразимо відносну лінійну деформацію ₁ у напрямі головного напруження σ₁ як суму деформацій, викликаних дією напружень ₁, ₂ і ₃, взятих окремо, тобто як суму деформацій при трьох незалежних від себе лінійних напружених станах.

Остаточно будемо мати:

(3)

Формулами (3) виражається узагальнений закон Гука.

Об’ємне розширення виражається так:

. (4)

Використовуючи формули (3), одержимо

. (5)

Формули (4) і (5) для об’ємного розширення виражають так званий об’ємний закон Гука. Отже, сума головних напружень є одним з інваріантів напруженого стану.

Якщо одне із головних напружень рівне нулеві, то одержимо закон Гука при плоскому напруженому стані.

Нехай σ₃=0, тоді матимемо

;

; (6)

.

Отримані формули (3) і (4) записані відповідно для головних площадок і напружень. Для неголовних площадок (дотичні напруження не дорівнюють нулю) формули, які зв’язують напруження σ_х, σ_y, σ_z, і відповідні подовження, будуть мати аналогічний вигляд. Слід зазначити, що при малих деформаціях дотичні напруження, що діють на неголовних площадках, викликають тільки зсув прямокутного елемента без зміни його довжини. Отже, деформації подовження і зсуву можна розглядати як незалежні.

Тоді для плоскої задачі ε_х, ε_y можна визначити за формулами

,

.

Звідки знаходимо напруження:

;

. (7)

Вирази (7) використовують в теорії пластин і оболонок.