Лекція 4. Статично невизначувані стержньові системи, визначення зусиль. Розрахунок на міцність методом допустимих напружень. Вплив температури. Метод початкових параметрів при розтягу і стиску.

1. Статично невизначувані стержньові системи, визначення зусиль. У ряді випадків необхідні для розрахунку пружних систем зусилля не можна знайти методом перерізів, через те, що кількість рівнянь статики, які можна скласти для відсіченої частини бруса або системи, недостатня (тут під системою ми розуміємо систему стержнів, з'єднаних між собою і прикріплених до нерухомих точок за допомогою шарнірів). Задачі, у яких зусилля не можуть бути визначені за допомогою лише рівнянь статики, мають назву статично невизначуваних. Існують два основних методи розрахунку статично невизначуваних систем: метод сил і метод переміщень. При розрахунку за методом сил за невідомі вибирають сили або силові фактори, а при розрахунку за методом переміщень за невідомі вибирають переміщення. При розв'язанні таких задач рівняння, яких не вистачає для визначення зусиль, складають на основі сумісності деформацій системи. Вони бувають різної форми залежно від характеру задачі. Кількість таких рівнянь визначає ступінь статичної невизначуваності, який дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю незалежних рівнянь статики, які можна скласти.

Таким чином, визначення усіх невідомих зусиль (розкриття статичної невизначуваності) можливе тільки при складанні додаткових рівнянь переміщень, котрі доповнюють число рівнянь статики до числа невідомих. Ці додаткові рівняння відбивають особливості геометричних зв’язків при переміщенні пружної системи.

Визначення зусиль у статично невизначуваних стержньових системах пояснимо на прикладі системи, що складається з абсолютно жорсткого бруса AB, шарнірно закріпленого у точці A і шарнірно підвішеного на пружних стержнях 1 і 2 (рис.2.8).

В

Рис. 2.8

изначаємо ступінь статичної невизначуваності: S=n-3,

де S - ступінь статичної невизначуваності, n - число невідомих.

Тоді S=4-3=1.

Складаємо рівняння рівноваги, які мають вигляд:

X=0: X_A =0;

Y=0: Y_A+N₁+N₂-P=0;

M_A=0: Na+N₂2a-P3a=0.

Оскільки система є один раз статично невизначуваною, складаємо ще одне додаткове рівняння переміщень.

При подовженні стержнів на величини l₁, і l₂ брус, залишаючись прямим, повернеться навколо центра шарніра A і займе положення AB₁ (рис.2.8,б). Вважаючи, що пружні деформації малі, рівняння переміщень запишеться так:

. (1)

Рівняння (1) відбиває чисто геометричний зв'язок між елементами деформованої системи.

Далі можна перейти до фізичного зв'язку, виражаючи за формулою закону Гука деформації стержнів через сили, що в них виникають:

, .

Введемо позначення: , , (у нашому випадку l₁=l₂).

Тоді шукані зусилля будуть дорівнювати

, . (2)

Аналіз розв'язку задачі (2) показує, що, на відміну від статично визначуваних систем, зусилля у стержнях статично невизначуваних систем залежать від відношення їх жорсткостей. У даному випадку при зростанні відношення , зусилля N₁ прямує до нуля, а N₂ - до максимального значення ; при зростанні відношення зусилля N₂ прямує до нуля, а N₁ - до максимального значення 3P.

2. Розрахунок на міцність методом допустимих напружень. Розрахунок на міцність статично невизначуваних систем методом допустимих напружень ґрунтується на припущенні, що виникнення небезпечного напруження, рівного границі текучості для пластичного або границі міцності для крихкого матеріалу, в даному елементі системи означає небезпечний стан для всієї системи.

При розрахунку на міцність виникає одна із задач, на які було вже вказано при розгляді окремого стержня:

перевірка міцності заданої системи шляхом порівняння максимального нормального напруження у пружній системі з допустимим напруженням, визначення допустимого навантаження для заданої пружної системи при заданому допустимому напруженні, підбір розмірів поперечних перерізів стержнів системи за заданим навантаженням і допустимим напруженням.

При розв'язанні задачі на підбір перерізів потрібно спочатку записати відношення жорсткостей стержнів

(3)

Відношенням площ поперечних перерізів стержнів треба задатися.

Після цього визначаються з рівнянь статики і переміщень зусилля у стержнях системи, і за одним з них (найбільшим) обчислюється з умови міцності потрібна площа поперечного перерізу даного стержня.

Площі поперечних перерізів усіх інших стержнів знаходяться з прийнятих на початку розрахунку відношень площ. Після цього слід перевірити, чи напруження в якому-небудь стержні не перевищує допустимого. Якщо так, розрахунок треба повторити, визначаючи площу найбільш напруженого стержня з умови міцності.

Розрахунок статично невизначуваних систем методом допустимих напружень дозволяє повністю використати міцність матеріалу лише в даному елементі (стержні). В усіх інших стержнях напруження менші від допустимих.

Визначимо потрібну площу поперечних перерізів стержнів пружної системи (рис.2.8) при заданому []. Приймаємо l₁=l₂ , E₁=E₂, .Тоді маємо ; ; .

З умови міцності знаходимо для стержня 2

, тоді A₁=A₂.

Напруження в стержні 1 дорівнює і становить лише половину допустимого напруження.

Слід зауважити, що існують інші методи розрахунку статично невизначуваних пружних систем, за допомогою яких матеріал системи можна використати повніше.

3. Вплив температури. На відміну від статично визначуваних систем, у яких зміна температури не викликає зусиль і напружень в елементах системи, у статично невизначуваних системах можуть виникати додаткові зусилля і напруження при зміні температури.

Визначаємо температурні зусилля і напруження у системі (рис.2.8), якщо температура стержнів 1 і 2, до яких підвішений жорсткий брус, піднімається на t град., а сила P=0.

Тоді рівняння статики набирають вигляду

;

.

Рівняння переміщень можна записати так:

,

де  - температурний коефіцієнт лінійного розширення.

Звідси одержуємо такі вирази для температурних зусиль і напружень:

, ,

, .

Від’ємний знак зусилля N₁, вказує на те, що при підвищенні температури цей стержень працює не на розтяг, як було прийнято, а на стиск.

Таким чином, при вивченні статично невизначуваних стержневих систем, слід звернути увагу на таке:

а) розподіл зусиль між елементами статично визначуваних конструкцій не залежить ні від площ А їх поперечних перерізів, ні від модулів пружності Е матеріалів, з яких виготовлені ці стержні, тобто не залежить від жорсткості їх перерізів, тоді як у статично невизначуваних конструкціях розподіл зусиль залежить від їх жорсткостей;

б) площі А геометричних перерізів у статично визначуваних конструкціях можна знаходити з умов міцності; в статично невизначуваних конструкціях перед тим, як визначити зусилля в стержнях, задаються відношенням площ А їх перерізів і матеріалами цих стержнів або відношенням жорсткостей перерізів стержнів.

Після знаходження зусиль визначають розміри площ перерізів стержнів із умов міцності і, враховуючи необхідність витримати прийняті співвідношення, вибирають такі розміри площ, при яких у жодному стержні напруження не перевищують допустимих. Як правило, у деяких стержнях цієї конструкції виникають напруження нижчі допустимих; таким чином, в статично невизначуваних конструкціях не використовуються повністю можливості матеріалу стержнів;

в) збільшення жорсткості будь-якого стержня призводить до того, що зусилля у цьому стержні збільшуються, а в інших зменшуються.

г) у статично невизначуваних конструкціях при зміні температури їхніх елементів порівняно з температурою, при якій конструкції складалися, виникають зусилля і напруження.

Нарешті, треба додати таке:

У елементах статично невизначуваних конструкцій можуть виникати зусилля і напруження, коли немає зовнішнього навантаження. Ці зусилля і напруження, що їх називають початковими (монтажними), виникають при складанні конструкцій. Початкові напруження або виникають внаслідок неточного виготовлення окремих елементів конструкцій, або утворюються з певною метою (наприклад, затягування болтів, пресова посадка).

4. Метод початкових параметрів при розтягу і стиску. В стержні (рис.2.9,а) виділимо елемент dx і розглянемо його рівновагу. В результаті отримаємо таку залежність:

,

,

де n(x) – інтенсивність поздовжнього навантаження; N(x) – поздовжня сила;

u (x) – поздовжнє переміщення точки .

Продиференціюємо друге рівняння по х

Рис.2.9

. (4)

При А(х)=const .

Тоді рівняння (4) запишемо так:

. (5)

Інтеграли рівнянь (4) і (5) визначають поздовжню силу і поздовжнє переміщення в будь-якому перерізі стержня при будь-якому навантаженні.

Нехай стержень (рис.2.10) навантажений довільним навантаженням – зосередженим і розподіленим (на рисунку показана тільки одна із діючих сил і тільки одна із ділянок з інтенсивністю розподіленого навантаження). Виберемо початок координат в точці О, а вісь х спрямуємо вздовж стержня.

Д ля довільного перерізу х запишемо основне рівняння

Рис.2.10

.

Інтегруючи, отримуємо , u(x)=C₁ х+C₂.

Виходячи з принципу незалежності дії сил і малих деформацій, спочатку припускаємо, що на стержень діють тільки силові і деформаційні фактори на початку координат – початкові параметри. Тоді значення довільних сталих при х=0 будуть:

; u₀=C₂.

Ці інтеграли зображують рівняння епюри поздовжніх сил і поздовжніх переміщень. Тобто епюра поздовжніх сил (поздовжніх деформацій) і поздовжніх переміщень - це графічне зображення відповідно першого і другого інтегралів диференціального рівня (4) з урахуванням граничних умов.

Отже, в різноманітних задачах при розтягу і стиску для стержнів сталого і змінного перерізів епюри для силових і деформаційних факторів можна побудувати через інтегрування диференціальних рівнянь (4) і (5). У загальному випадку навантаження треба диференціальне рівняння записати окремо відповідно для кожної ділянки. Тоді при n ділянках буде 2n сталих інтегрування. Використовуючи метод початкових параметрів, який ґрунтується на диференціальних залежностях (4) і (5), що відображають дію окремих силових факторів та переміщень, можна число довільних сталих звести до двох. Ці довільні сталі будуть відповідати двом початковим параметрам N₀ і u₀. Підставляючи значення С₁ і С₂ у перший і другий інтеграл основного рівняння, отримаємо

; (6)

. (7)

Інтеграли (6) і (7) дають значення поздовжньої сили і переміщення в будь-якому перерізі стержня, але тільки від дії початкових параметрів.

З формули (7) очевидно, що переміщення будь-якої точки складається з двох частин: з переміщення u₀ і переміщення, яке визначається із закону Гука.

Якщо на стержень буде діяти зосереджена сила Р, яка прикладена в перерізі а, то за аналогією з виразами (6) і (7) для перерізу а≤х≤b в можна записати

; (8) . (9)

Якщо діє поздовжнє навантаження, яке розподілене за законом трапеції, вирази (8) і (9) запишемо для нескінченно малої зосередженої сили n(ζ)dζ і обчислимо їх суму:

; (10)

. (11)

Враховуючи, що

, (12)

і підставляючи формулу (12) у вирази (10) і (11), після інтегрування отримаємо

; (13)

. (14)

Для розрахункового випадку, коли розподілене навантаження на ділянці є рівномірним (n₁=n₂=n), вирази (13) і (14) спрощуються:

; (15)

. (16)

Універсальний вираз для першого інтегралу з урахуванням дії всіх навантажень отримаємо, коли складемо праві частини виразів (6), (8), (13):

; (17)

Для отримання другого інтегралу треба відповідно скласти вирази (7), (9), (14):

. (18)

У розрахунковому випадку, коли n₁=n₂=n , перший інтеграл набирає вигляду

, (19)

а другий інтеграл запишемо так:

. (20)

В формулах (17), (18), (19), і (20) знак Σ означає, що є декілька ділянок з розподіленим навантаженням і декілька зосереджених сил.

Знайдені вирази (17) і (18) – універсальні рівняння епюр і u(x) для будь-якого навантаження і для будь-якої ділянки. Слід зазначити, що метод початкових параметрів – це не тільки ефективна універсальна форма відображення диференціального рівняння, але і алгоритм, який дає змогу для відомих в початковому перерізі силових і деформаційних факторів визначити значення цих величин на будь-якій ділянці.

Розв’язання задач по темі “Розтяг і стиск”.

Задача 2.1. Для заданого стержня (рис.2.11,а) побудувати епюри поздовжніх сил, нормальних напружень в поперечних перерізах і побудувати епюру поздовжніх переміщень. Матеріал стержня – сталь з модулем пружності Е=2∙10⁵ МПа.

Розв’язання. Поздовжні сили на окремих ділянках стержня дорівнюють:

на ділянках ab і bc

N_ab=N_bc=P₁=20 кН;

на ділянці cd

N_cd=P₁+ P₂=20+40=60 кН.

Епюра поздовжніх сил N побудована на рис.2.11,б. В поперечних перерізах стержня виникають нормальні напруження, які знаходимо за формулою :

на ділянці ab

МПа;

на ділянці bc

МПа;

на ділянці cd

МПа.

Рис.2.11

Епюра нормальних напружень σ побудована на рис.2.11,в.

Поперечні перерізи стержня під дією навантаження переміщуються. Переміщення δ_х перерізу, розташованого на відстані х від верхнього кінця стержня, дорівнює подовженню ділянки довжиною х:

для перерізів на ділянці cd (0≤х≤0,5)

;

переміщення перерізу с (х=0,5)

;

для перерізів на ділянці bc (0,5≤х≤1,5)

;

переміщення перерізу b (х=1,5)

;

для перерізів на ділянці ab (1,5≤х≤3,5)

;

переміщення перерізу а (х=3,5)

;

В отриманих тут виразах залежність між δ_х і координатою х є лінійною. Це дає змогу для обчислених переміщень перерізів a, b, c і за відомим δ_d=0 побудувати епюру поздовжніх переміщень (рис.2.11,г).

Задача 2.2. Для заданого стержня (рис.2.12,а) побудувати епюру поздовжніх сил, визначити з умови міцності діаметри круглих поперечних перерізів його трьох ділянок, визначити подовження окремих ділянок і стержня в цілому і побудувати епюру поздовжніх переміщень. Матеріал стержня – сталь з модулем пружності 2∙10⁵ МПа, допустиме напруження [σ]=160 МПа, а=0,2 м, Р₁=100 кН, Р₂=140 кН, Р₃=40 кН.

Розв’язання. Поздовжні сили на окремих ділянках стержня дорівнюють:

на ділянках AB

N_AB=N₁= -P₁= -100 кН,

на ділянці BC

N_BC= N₂ = -P₁+P₂= -100+140=40 кН,

на ділянці CD

N_CD= N₃ = -P₁+P₂+Р₃= -100+140+40=80 кН.

Епюра поздовжніх сил побудована на рис.2.12,б. З умови міцності знаходимо потрібні площі поперечних перерізів та діаметри стержня на його окремих ділянках (рис2.12,в):

,

(приймаємо d₁=28 мм);

на ділянці BC

,

(приймаємо d₂=18 мм);

на ділянці CD

,

(приймаємо d₃=25 мм).

Рис.2.12

Знаходимо жорсткості стержня на його окремих ділянках:

на ділянці AB

;

на ділянці BC

;

на ділянці CD

.

Подовження окремих ділянок стержня дорівнюють:

на ділянці AB

;

на ділянці BC

;

на ділянці CD

.

Вертикальне переміщення нижнього кінця стержня, викликане подовженням його окремих ділянок, дорівнює

.

Епюра поздовжніх переміщень побудована на рис.2.12,г.

Задача 2.3. Побудувати епюри нормальних сил, напружень і переміщень циліндричного бруса, який знаходиться під дією власної ваги (рис.2.13). Довжина бруса - ℓ, площа поперечного перерізу - А, сила ваги одиниці об’єму – γ.

Розв’язання. Поздовжня сила в перерізі х дорівнює вазі нижньої відсіченої частини стержня

.

Отже, нормальна сила пропорційна х. Найбільшої величини вона досягає у місці закріплення бруса . Напруження в перерізі дорівнює , тобто напруження (як і зусилля) змінюється вздовж бруса за прямолінійним законом. Найбільшої величини воно теж досягає у місці закріплення бруса:

.

Переміщення u у перерізі х дорівнює подовженню верхньої ділянки стержня і визначається так:

.

Таким чином, переміщення u зображується квадратичною функцією х. Найбільше переміщення , тобто .

Епюри N(x), σ(x) і u(x) побудовані на рис.2.13

Рис.2.13

Задача 2.4. Брус навантажений силою Р і власною вагою (рис.2.14). Треба підібрати такий закон зміни площі поперечного перерізу А=А(х), при якому в будь-якому перерізі напруження були б однакові і дорівнювали . Питому вагу матеріалу бруса позначимо через γ. Побудувати епюри поздовжніх сил, напружень і переміщень.

Розв’язання. На відстані від верхнього кінця х нормальна сила N дорівнює

.

За умовою задачі

,

звідки

.

Продиференціюємо цю рівність по х, тоді приймаємо ,

або .

Після інтегрування знаходимо

,

або .

При х=0 А=А₀, тоді С=А₀.

Площа цього бруса буде змінюватися за законом .

Рис. 2.14

Напруження σ вздовж осі бруса за умовою не змінюється. Оскільки σ=const, то сталим буде і відносне подовження (ε=const ). В зв’язку з цим переміщення є пропорційним відстані від закріплення брусу. Нормальна сила в перерізі х дорівнює .

Епюри σ, u, N побудовані на рис. 2.14.

Задача, яка тут розглядається, стосується проблем, пов’язаних із знаходженням умов рівноміцності конструкцій. Якщо напруження в деякому тілі (бруса) буде сталим для всіх точок об’єму, то таку конструкцію називають рівноміцною. В таких конструкціях матеріал використовується з більшою ефективністю.

Задача 2.5. Кронштейн АВС навантажений на кінці силою Р (рис.2.15). Необхідно підібрати поперечний переріз стержнів АВ і ВС, виходячи із умови, що нормальні напруження σ=const. При цьому кут α повинен бути знайдений з умови мінімальної ваги конструкції при заданій величині СВ=ℓ.

Рис. 2.15

Розв’язання. З умови рівноваги вузла В (рис.2.15) знаходимо нормальні сили в стержнях: , . За величиною заданого напруження σ визначаємо площі поперечного перерізу стержнів:

; .

Вага конструкції кронштейна пропорціональна об’єму: . Підставивши довжини і площі стержнів, знайдемо

.

Величина V має мінімум при ; .

Рис.2.16

Задача 2.6. Стальний брус (Е=2∙10¹¹ МПа, γ=7,8 Н/м³) знаходиться під дією сили Р=2000 Н і сили власної ваги (рис.2.16). Знайти переміщення І–І.

Розв’язання. Враховуючи принцип незалежності дії сил, повне переміщення δ_І перерізу І–І дорівнює сумі переміщень δ_Ір від дії сили Р і δ_ІG від дії власної ваги, тобто

.

Переміщення δ_Ір і δ_ІG дорівнюють переміщенням (відповідно від сили Р і власної ваги) ділянки стержня довжиною a+b+c, розташованої вище перерізу І–І, тобто

,

.

Навантаження Р викликає подовження тільки ділянки стержня довжиною а:

.

Визначимо подовження ділянки довжиною а+b від власної ваги стержня. Подовження викликається вагою G_с+d нижньої ділянки і власною вагою G_а+b:

;

де Н;

Н.

Визначаємо подовження ділянки довжиною с від власної ваги стержня. Це подовження виникає від ваги G_d нижньої ділянки довжиною d і власної ваги G_с ділянки довжиною с:

,

де Н;

Н.

Таким чином, см,

см. Отже см,

тобто переріз І–І стержня переміщується на 0,0128 мм.

Задача 2.7. Для заданої стержньової системи (рис.2.17,а) визначити площі поперечних перерізів стержнів 1 і 2, якщо відомі відношення їх площ , α=30^○ і величина навантаження Р=1000 кН. Матеріал стержнів – сталь Ст.3, [σ]=160 МПа. Брус АС вважати абсолютно жорстким.

Розв’язання. Уявно звільняємо брус АС від опорних зв’язків і замінюємо їх невідомими реактивними зусиллями (рис.2.17,б.).

Складаємо рівняння рівноваги сил, прикладених до бруса:

Рис. 2.17

;

; а)

.

Задача один раз статично невизначувана тому, що рівняння статики мають чотири невідомі (два зусилля і дві складові реакції опори).

Рівняння сумісності деформацій складаємо на основі схеми деформації системи (рис.2.17,в):

. б)

Вирази Δℓ₁ і Δℓ₂ згідно із законом Гука мають вигляд:

;

.

Підставляючи ці вирази у рівняння сумісності деформацій, отримуємо відношення:

. в)

Розв’язуючи рівняння знайдемо такі значення невідомих зусиль:

N₂=822 кН, N₁=178,4 кН, х_в= -154 кН, у_в=1732 кН.

З умови міцності визначаємо площу поперечного перерізу стержня 2:

м².

Тоді площа поперечного перерізу стержня А₁ дорівнює м². Нормальне напруження в стержні 1 приймає значення:

.

Задача 2.8. Жорсткий брус АС, деформаціями якого можна знехтувати, шарнірно закріплений в точці А, навантажений силою Р=300 кН і підтримується двома стальними стержнями з перерізами А₁=5 см², А₂=10 см² (рис.2.18,а). Знайти напруження в стержнях. Визначити допустиме навантаження [Р] і граничне допустиме навантаження [Р]_т при [σ]=160 МПа, σ_т=240 МПа, [n]=1,5.

Рис. 2.18

Розв’язання. Відкинемо уявно лівий і два верхніх опорних шарніри і замінюємо їх вплив на конструкцію опорними реакціями R₁, R₂ і зусиллями в стержнях N₁, N₂ (рис.2.18,б). Складемо рівняння рівноваги стержньової системи:

; ;

.

Задача один раз статично невизначувана тому, що маємо три рівняння статики, а число невідомих дорівнює чотири.

Додаткове рівняння сумісності деформацій складаємо, розглядаючи переміщення бруса АС, який може мати тільки обертальне переміщення навколо опорної точки А (рис.2.18,в). При цьому вертикальне переміщення точки В – точки прикріплення першого стержня до бруса – дорівнює його деформації Δℓ₁; вертикальне ж переміщення точки С – точки прикріплення другого стержня до бруса – дорівнює його деформації Δℓ₂. Використовуючи подібність трикутників (рис.2.18,в), дістаємо додаткове для розв’язання задачі рівняння

,

звідки .

Згідно закону Гука , а .

Тоді , звідки

.

Підставимо знайдене значення в останнє з рівнянь статики

.

Звідки кН,

кН.

Напруження в стержнях

;

.

Знайдемо тепер допустиме значення [Р]. При Р=[Р] нормальне напруження в більш напруженому другому стержні σ₂=[σ]=160 МПа, а не 146 МПа, як при Р=300 кН.

Отже, кН, яке ми розрахували за методом допустимих напружень.

Проведемо розрахунок несучої здатності заданої статично невизначуваної стержньової системи за граничним станом, тобто методом “руйнівних навантажень”. Величина Р_Т граничного руйнівного навантаження, при якому виникає текучість в обох стержнях (σ=σ_т), визначається з умов рівноваги сил:

,

де кН,

кН.

Тоді значення граничного навантаження дорівнює

кН.

Граничне допустиме навантаження

кН.

Задача 2.9. Стальний болт діаметром d=20 мм і завдовжки ℓ=800 мм вміщено в мідну трубку, внутрішній діаметр якої d₁=25 мм, а зовнішній d₂=50 мм (рис.2.19). Визначити напруження в болті і в трубці при загвинчуванні гайки на одну чверть оберту, якщо крок різьби S=5 мм. Модуль пружності сталі Е_С=2∙10⁵ МПа, модуль пружності міді Е_М=1∙10⁵ МПа. Як зміниться напруження при підвищенні температури на 50^○С? Коефіцієнти лінійного розширення α_с=125∙10^-7, α_м=165∙10^-7.

Рис. 2.19

Розв’язання. Рівняння статики для відсіченої поперечним перерізом частини системи має вигляд

N_C+N_M=0.

Рівняння сумісності деформацій випливає з умови рівності деформацій болта та трубки з урахуванням “штучного укорочення” болта за допомогою гайки:

Δℓ_С-0,25S= Δℓ_М,

або, враховуючи закон Гука, одержимо

.

З цих двох рівнянь знаходимо зусилля в болті та трубці:

.

Підставивши в цей вираз

см²;

см²,

а також інші величини, отримаємо

N_C=-N_M=69 кН.

Тоді напруження

МПа;

МПа.

При підвищенні температури рівняння сумісності деформацій запишемо так:

.

Розв’язуючи це рівняння разом з рівнянням статики N_C+N_M=0, маємо

,

звідки σ_С=17,1 МПа, σ_М= -11,5 МПа.

Задача 2.10. Абсолютно жорсткий брус АВ, закріплений шарнірно в точці А, підтримується п’ятьма тросами. До бруса прикладена сила Р (рис.2.20). Визначити зусилля в тросах.

Розв’язання. Під дією сили Р брус обертається навколо шарніра А на деякий кут β. Це кутове переміщення приймаємо за невідоме. Вважаємо, що деформаційні фактори малі, тоді будемо мати tgβ≈β.

Д

Рис. 2.20

ля точки 1 переміщення δ₁=5аβ, а проекція цього переміщення на напрямок стержня 1 дорівнює деформації цього стержня:

.

За аналогією:

;

;

;

.

Тепер виразимо зусилля через кут β:

;

;

;

;

.

Запишемо рівняння рівноваги балки, тобто суму моментів всіх сил відносно шарніра А:

.

Звідки знаходимо β і за приведеними вище формулами визначаємо зусилля: S₁, S₂, S₃, S₄, S₅.

Задача 2.11. Стержень, жорстко закріплений одним кінцем, навантажений, як показано на рис.2.21. Записати перший (для поздовжньої сили) і другий (для переміщення) інтеграли, якщо Р₁=100 кН, Р₂=200 кН, n=20 кН/м, ЕА=const.

Рис. 2.21

Розв’язання. В даному випадку перший і другий інтеграли, коли 6≤х≤8, відповідно мають вигляд:

,

.

Початковий параметр u₀=0. Другий початковий параметр N₀ знайдемо із граничної умови, що при х=8 N=P₂:

.

Звідки N₀=340 кН.

Тепер перший і другий інтеграли запишемо для будь-якої ділянки:

на ділянці 0≤х≤3 м

; ;

на ділянці 3≤х≤4 м

; ;

на ділянці 4≤х≤6 м

; ;

на ділянці 6≤х≤8 м

; .

Задача розв’язана. За цими даними можна побудувати епюри і u(x).