ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.Случайные события, пространство событий, алгебра событий. Классическое определение вероятности.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания

Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий

к одному из нескольких возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения .

Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.

Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные,

противоположные.

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным.

Событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания), называется невозможным.

Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление

одного из них не исключает появления других.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других.

События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие.

Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными.

Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов,

благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

2. В методичке.(элементы комбинаторики)

3. Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А).

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. P(Ω) =1.

Действительно, если событие А = Ω, то М = N, значит,

Р(Ω) = N/N = 1.

2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е.

Р(⃠)= 0.

Если А = ⃠, то оно не осуществится ни при одном испытании, т. е.

М = 0 и Р(⃠) = 0/N = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

В самом деле, так как 0≤ M ≤ N, 0≤ M/N ≤ 1, т. е. 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. Р(А) + Р(А) = 1. В самом деле,

Р(А) = (N - M)/N = 1 - M/N = 1 - P(A), следовательно,

Р(А)+Р(А)=1.

4. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

Итак, события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.

Вероятности независимых событий называются безусловными.

Таким образом, события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Вероятность появления хотя бы одного события из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным.