Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными – это уравнения вида

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

В исходном уравнении:

(1)

Выразим y' через дифференциалы: ; ; Умножим на dx: ;

Иногда уравнение задается в таком виде. Это означает, что переменные x и y равноправны. Разделим уравнение на s(x)r(y): Интегрируем:

(2)

Поскольку мы делили на s(x)r(y), то получили интеграл уравнения при s(x)≠ 0 и r(y)≠ 0. Далее следует рассмотреть решения, определяемые уравнениями s(x)= 0 и r(y)= 0, которые могут давать несколько значений типа x = const, y = const, также удовлетворяющие исходному уравнению (1). Часть этих решений может уже содержаться в решении (2).

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

К разделяющимся переменным сводится уравнение вида:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка: Существует три способа решения этого уравнения:

• метод интегрирующего множителя;

• метод введения двух функций (Бернулли);

• метод вариации постоянной (Лагранжа).

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель - :

(1)

Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции: По правилу дифференцирования сложной функции: По правилу дифференцирования произведения: Подставляем в (1): Интегрируем: Умножаем на    . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Решить уравнение:

Решение. Разделим на x:

(2)

тогда Интегрирующий множитель: Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ±1). Умножим (2) на x³ или Интегрируем, применяя таблицу интегралов: Делим на x³:

Ответ:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим уравнение n-го порядка:

(1)

Оно решается непосредственным интегрированием.

. . . . . . . .

Пример. Решить уравнение:

Решение.

Преобразуем, применяя формулу тригонометрии:

Интегрируем:

Интегрируем еще раз: