Дифференциальные уравнения

Определение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения – это соотношение вида F(x₁,x₂,x₃,..,y,y′,y′′,...y⁽ⁿ⁾) = 0, связывающее независимые переменные x₁,x₂,x₃,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. При этом функция F определена и достаточное число раз дифференцируема в некоторой области изменения своих аргументов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, в которых содержится только одна независимая переменная.

Дифференциальные уравнения в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых содержится две и более независимых переменных.

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным.

y'' - sin x y' + (cos x) y = tg x - линейное,

sin y' - cos y = ctg x - нелинейное,

y''' - y' = 0 - линейное,

(y^IV)² - 3y''' + y = 1 - нелинейное.

Классификация дифференциальных уравнений

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей входящей в него производной.

Степень дифференциального уравнения – это показатель степени, в которую возведена производная наивысшего порядка.

Вот пример уравнения первого порядка второй степени: Вот пример уравнения четвертого порядка первой степени:

Решение дифференциальных уравнений

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения – это функция y(x), определенная и достаточное число раз дифференцируемая в некоторой области, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество.

неявную зависимость в виде уравнения типа Ф(y,x)=0 или системы уравнений;

Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;

Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

решение может не выражается через элементарные функции;

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x₀ и x₁ : f (x₀) = f₀ , f (x₁) = f₁ , где f₀ и f₁ - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей.