- •1 Билет
- •1. Определение геометрического ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Теорема (о погружении дискретного аргумента (n) в непрерывный (X).
- •2. Определение функции нескольких переменных. Определение множества значений фнп. Определение графика функции. Определение линии уровня.
- •3. Исследовать ряд на сходимость
- •2) Определение ду, обыкновенное и ду в частных производных, порядок и решение;
- •4 Билет
- •1.Второй предельный признак сравнения. Признак Даламбера
- •1.Теор.Коши, интегральный признак коши
- •2.Опр:точки максимума и минимума,точки
- •6 Билет
- •1) Определение ряда Тейлора. Определение ряда Маклорена.
- •2) Определение линейного ду первого порядка.
- •1. Ряд тейлора (теорема)
- •2. Условный экстремум, необходимое условие условного экстремума
- •1)Определение полного дифференциала. Дифференцируемость ф-ции 2 переменных в точке.(определение и теорема).
- •2)Уравнение Бернулли (определение и метод решения).
- •1) Дифференцирование сложных функций (2 теоремы и замечание)
- •2) Частные случаи ду 2го порядка, метод решения
- •1.Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух переменных. Замечание по символическому обозначению ди. Теорема о существовании ди
- •2) Достаточное условие экстремума функции двух переменных(теорема)
- •1.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат;
- •1) Числовые ряды. Частичная сумма числовых рядов. Сходимость числового ряда и суммы числового ряда.
- •2) Виды правых частей линейного неоднородного
- •1.Геом ряд.Теорема о погружении и т о достаточном условии чего-то там из той же лекции
- •2.Вычисление ди в декартовой системе
- •1) Теорема Коши.Интегр-й признак Коши
- •1. Второй предельный признак сходимости. Признак Даламбера.
- •2. Точка Максимума,минимума функции двух переменных,экстремум,стационарные и критические точки.
- •1. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
- •2. Линейный ду 1-ого порядка. Однородные и неоднородные. Общие их решения.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух перем
- •2)Определение и метод решения полного дифферинциала
- •1)Определение окрестности точки на плоскости Определение предела ф-ии двух переменных
- •1)Основные свойства двойного интеграла;
- •2)Метод математической индукции
- •1.Ди в полярной системе координат
- •2.Однородное ду 1-го порядка (метод решения, замечание)
- •3.Стационарные точки
- •41 Билет
- •1)Определение непрерывности в точке функции двух переменных . Определение точки разрыва функции двух переменных.
- •2) Определение однородной функции степени n. Однородное ду первого порядка ( определение, представление в виде уровня в дифференциалах ( замечаний и метод решения)
- •1. Определение двойного интеграла для функции двух переменных. Замечание о символах двойного интеграла. Теорема о существовании двойного интеграла.
- •2. Виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка и соответствующие виды частных решений.
- •1. Окрестность точки на плоскости. Предел функции нескольких переменных.
2.Вычисление ди в декартовой системе
Вычисление ДИ в декарт сист к-т.2 основных вида обл инт-ия: 1) обл инт-я D ограничена слева и справа х=а, х=b, (a<b), а снизу и сверху – непрер кривыми у=µ1(х), у=µ2(х), [µ1(х)≤µ2(х)], кажд из кот пересек-ся вертик прямой только в одной т
Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy (a-b, µ1(х)-µ2(х)) (1), где сгачала вычис-ся внутр инт ∫f(x,y)dy, в кот х счит-ся постоянным.
2)Область инт-ия D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и у=d, (с<d), а слева и справа непрерывными кривыми х=ψ1(у), х=ψ2(у), [ψ1(у)≤ψ2(у)], кажд из кот перес-ся горизонт прямой только в одной т.
Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dу∫f(x,y)dх (с-d, ψ1(у)-ψ2(у)) (2), причем сначала вычисл внутр инт, в кот у счит-ся пост-й.
3 ди (у-2х)дхду при у=1/х х=1 х=2 у=о
Билет27
1) Теорема Коши.Интегр-й признак Коши
Т: (пр Коши) ↓ дан ряд Ʃun с полож чл и сущ предел lim(un)^1/n=С, тогда 1) ряд сх при С˂1, 2) ряд расх при С˃1.
Т: (интегр пр Коши) ↓ ф-я f(x) на пром-ке [1,+∞) удовл усл:1)полож 2)убывает 3)непрерывна. Тогда ряд Ʃ f(n) и несобств инт ʃ f(x)dx одновр сход, либо одновр расх 2)определение двойного несобственного интеграла по бесконечной обл.
О:If для л послед-ти Dn ограниченных подобластей, таких что кажд огранич-я подобл области D сод-ся во всех подобластях Dn при n>n0, сущ предел lim∫∫f(x,y)dxdy (при n→∞, под ∫∫ писать Dn), то этот предел наз несобственным двойным интегралом. От ф f(x,y) по обл D и обозн символом ∫∫f(x,y)dxdy= lim∫∫f(x,y)dxdy(при n→∞, под ∫∫ в 1м сл писать D, вот 2м - Dn), при этом, if предел конечен, то интервал наз-ся сходящимся, а в противном сл – расходящимся.
Билет 28
1. Второй предельный признак сходимости. Признак Даламбера.
Т: (2-й (предельный) пр сравн) If Ʃun и Ʃvn ряды с полож чл и сущ конеч lim отношения их общих чл lim un/vn=k≠0, то ряды одновр сход либо одновр расх
Т: (пр Даламбера) If дан ряд Ʃun с полож чл и сущ предел lim u(n+1)/un=D, тогда 1) ряд сход, if D˂1 2) ряд расх, if D˃1.
if D=1, то ряд может как сх-ся, так и расх-ся. В этом случае необх. дополн. иссл-ие ряда с помощью др. призн-в.
2. Точка Максимума,минимума функции двух переменных,экстремум,стационарные и критические точки.
О: Т (x0;y0) наз т max (min) ф z=f(x,y), if сущ окрестность т (x0;y0) такая, что для all т(x,y) из этой окр-ти вып-ся нерав-во: f(x0;y0)≥ f(x,y) (f(x0,y0)≤ f(x,y))
О: Max или min ф z=f(x,y) наз ее экстремумом, а т, в j ф имеет экстр наз т экс-ма.
О: Т, в j все частные произв 1го пор ФНП =0 наз стационарными.
О: Т, в j все частн произв 1го пор ФНП=0 или не сущ хотя бы одна из них наз критическими
Вариант 29)
1. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
О: Знакочеред рядом наз ряд, в j член попеременно то полож, то отриц, те ряд вида u1-u2+u3-u4+…+(-1)^n+1*un+…=Ʃ(-1)^n+1*un, где un˃0
Т: (пр Лейбница сход знакочеред ряда) Знакочеред ряд сход if абсол велич его чл монотонно убыв, а общ чл стремится к 0, те вып-ся 2 усл: 1) u1˃u2˃u3˃… 2)lim un=0