- •1 Билет
- •1. Определение геометрического ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Теорема (о погружении дискретного аргумента (n) в непрерывный (X).
- •2. Определение функции нескольких переменных. Определение множества значений фнп. Определение графика функции. Определение линии уровня.
- •3. Исследовать ряд на сходимость
- •2) Определение ду, обыкновенное и ду в частных производных, порядок и решение;
- •4 Билет
- •1.Второй предельный признак сравнения. Признак Даламбера
- •1.Теор.Коши, интегральный признак коши
- •2.Опр:точки максимума и минимума,точки
- •6 Билет
- •1) Определение ряда Тейлора. Определение ряда Маклорена.
- •2) Определение линейного ду первого порядка.
- •1. Ряд тейлора (теорема)
- •2. Условный экстремум, необходимое условие условного экстремума
- •1)Определение полного дифференциала. Дифференцируемость ф-ции 2 переменных в точке.(определение и теорема).
- •2)Уравнение Бернулли (определение и метод решения).
- •1) Дифференцирование сложных функций (2 теоремы и замечание)
- •2) Частные случаи ду 2го порядка, метод решения
- •1.Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух переменных. Замечание по символическому обозначению ди. Теорема о существовании ди
- •2) Достаточное условие экстремума функции двух переменных(теорема)
- •1.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат;
- •1) Числовые ряды. Частичная сумма числовых рядов. Сходимость числового ряда и суммы числового ряда.
- •2) Виды правых частей линейного неоднородного
- •1.Геом ряд.Теорема о погружении и т о достаточном условии чего-то там из той же лекции
- •2.Вычисление ди в декартовой системе
- •1) Теорема Коши.Интегр-й признак Коши
- •1. Второй предельный признак сходимости. Признак Даламбера.
- •2. Точка Максимума,минимума функции двух переменных,экстремум,стационарные и критические точки.
- •1. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
- •2. Линейный ду 1-ого порядка. Однородные и неоднородные. Общие их решения.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух перем
- •2)Определение и метод решения полного дифферинциала
- •1)Определение окрестности точки на плоскости Определение предела ф-ии двух переменных
- •1)Основные свойства двойного интеграла;
- •2)Метод математической индукции
- •1.Ди в полярной системе координат
- •2.Однородное ду 1-го порядка (метод решения, замечание)
- •3.Стационарные точки
- •41 Билет
- •1)Определение непрерывности в точке функции двух переменных . Определение точки разрыва функции двух переменных.
- •2) Определение однородной функции степени n. Однородное ду первого порядка ( определение, представление в виде уровня в дифференциалах ( замечаний и метод решения)
- •1. Определение двойного интеграла для функции двух переменных. Замечание о символах двойного интеграла. Теорема о существовании двойного интеграла.
- •2. Виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка и соответствующие виды частных решений.
- •1. Окрестность точки на плоскости. Предел функции нескольких переменных.
1) Определение ряда Тейлора. Определение ряда Маклорена.
Разложение функций в степенные ряды
If ф-я f(x) на инт (a-R,a+R) разлаг-ся в ряд по степеням х-а, те f(x)=а0+ a1(x-а)+a2(x-а)^2 + …+ an(x-а)^n+…(1), то коэф этого ряда опред-ся по формулам: а0=f(a), an=f^(n)(a)/n! (n=1,2,..) Подставляем данные выраж для коэф в рав-во (1), получаем f(x)= f(a)+f’(a)/1!*(x-a)+f’’(a)/2!*(x-a)^2+…+f^(n)(a)/n!*(x-a)^n+…(2)
О: Ряд в правой части рав-ва (2) наз рядом Тейлора для ф-ии f(x)
О: В частном случае, когда а=0, из ряда Тейлора получ-ся ряд Маклорена f(x)=f(0)+f’(0)/1!*x+f’’(0)/2!*x^2+…+f^(n)(0)/n!*x^n+…
2) Определение линейного ду первого порядка.
Определение однородного и неоднородного линейного ДУ и их общие решения.
О: Ур вида y’+p(x)y=f(x) (1) наз линейным ДУ 1го пор.
О: If f(x)≡0, то ур (1) наз лин однор-м. If f(x) ≢0, то ур (1) наз лин неоднор ур.
Общ реш лоу y’+p(x)y=0 получ-ся с help разделения перем(те дан ур явл ДУ с раз-щимия перем)
Общ реш лну (1) можно найти, исходя из общ реш соотв однор ур методом вариации произвол пост(методом Лагранжа). Сущность этого методо сост в том, что в общ реш у=µ(х,С) соотв-го однор ур произв пост С замен-ся на new неизвест ф С(х), j нах-ся путем подстановки ф-й у=µ(х,С(х)) в ур (1).
3)SS(x^2)*ydxdy x=0 y=x y=1
билет 11
1. Ряд тейлора (теорема)
Т(достат усл представления ф-ии ее ряда Тейлора): If в ин (а-R,a+R) производные ф-ии f(x) всех порядков ограничены одним и тем же числом С>0, те │f^n(x)│<C (n=1,2,..), то ряд Тейлора для этой ф-ии сход в инт (а-R,a+R), и его сумма равна f(x)
2. Условный экстремум, необходимое условие условного экстремума
О: Условным экс ф z=f(x,y) наз экс этой ф, достигнутый при усл, что перем х и у связаны м/у собой уравнением связи: µ(х,у)=0
Т.(необх усл усл-го экс) Т экс ф z=f(x,y) удовл сист из 3х ур-й: ∂L/∂x=∂f/∂x+λ*∂µ/∂x=0 ∂L/∂y=∂f/∂y+λ*∂µ/∂y=0 ∂L/∂λ=µ(x,y)=0, где L(x,y,λ)=f(x,y)+λµ(x,y)
билет№12 1)определение непрерывности ф-ции в точке.Точка разрыва
О:Ф-я z= f(x,y) наз непрер в т (х0,у0): 1)if она определена в т (х0,у0) 2) if имеет кон предел в т (х0,у0) 3)if этот предел равен значению ф-ии в т х0,у0, те lim f(x,y) = f(x0,y0) (x→x0, у→у0)
О:If в т (x0,y0) не вып-ся хотя бы одно их 3х усл непрер-ти ф-ии z= f(x,y), то такая т наз точкой разрыва ф z= f(x,y) 2)ДУ в полных дифференциалах.определение и решение
(Ур в полных дифф-ах). О:Ур вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2) наз ур в полн дифф-ах, if его левая часть явл полным дифф-м нек ф F(х,у), те dF(x,y)=∂F/∂x*dx+∂F/∂y*dy≡M(x,y)dx+N(x,y)dy
Метод реш ур в полных дифф (2) основан на нахождении ф-ии f(х,у), от j полный дифф равен явной части данн ур. Тогда общ реш ур (2) можно записать в виде F(x,у)=С.
вариант 13.
1)Определение полного дифференциала. Дифференцируемость ф-ции 2 переменных в точке.(определение и теорема).
О:Полным дифф-лом ф z= f(x,y) наз сумма произведений част произв этой ф на приращ независ перем, те dz=∂z/∂x*∆x+∂z/∂y*∆y – основная ф-ла для полного диф-ла ф 2х перем
О: Ф-я z= f(x,y) наз дифференцируемой в т (х,у), if ее полное приращ в т (x,y) ∆z=(x+∆x,y+y∆)-f(x,y) мб представ в виде ∆z=dz+α∆x+β∆y, где dz-дифф-л ф-ии, α=α(∆х,∆у) и β=β(∆х,∆у) – бескон малые ф при ∆х→0,∆у→0.
Т(дост усл дифф-ти ф-й 2х перем):If ф z= f(x,y) имеет частные произв в нек окрест т (х,у), причем эти частные произв непрерывны в самой т (х,у), то ф z= f(x,y) дифф-ма с этой т.